Bài4 Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC, đường cao AD. Trên đoạn DC lấy điểm E sao cho DB = DE. a) Chứng minh tam giác ABE cân b) Từ E kẻ EF vuông góc với AC (F thuộc AC). Từ C kẻ CK vuông góc với AE (K...

Bài4 a) Ta có: - Tam giác ABD và tam giác AED có chung cạnh AD. - DB = DE (theo đề bài). - Góc ADB = góc ADE = 90° (vì AD là đường cao). Do đó, tam giác ABD và tam giác AED bằng nhau theo trường hợp "cạnh huyền và cạnh góc vuông". Suy ra AB = AE, tức tam giác ABE là tam giác cân tại đỉnh A. b) Ta sẽ chứng minh ba đường thẳng AD, EF và CK đồng quy tại một điểm. - Xét tam giác AEC, ta thấy EF vuông góc với AC tại F và CK vuông góc với AE tại K. Do đó, EF và CK là các đường cao của tam giác AEC. - Trong tam giác AEC, đường cao AD cũng là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy EC. - Vì tam giác AEC có ba đường cao EF, CK và AD, nên chúng phải đồng quy tại một điểm. Điểm này là trực tâm của tam giác AEC. Vậy ba đường thẳng AD, EF và CK đồng quy tại một điểm. Bài 5 a) Ta có $$ (vì tam giác DEF đều) $$ (vì EM là tia phân giác của $$) $$ (vì DN vuông góc với DE) Trong tam giác DNE, ta có: $$ Do đó, $$, suy ra tam giác DNF là tam giác cân tại N. b) Ta có $$ Trong tam giác DNF, ta có: $$ Vì $$ và $$, nên $$ Do đó, $$, suy ra NF vuông góc với EF. c) Ta có $$ (vì DN vuông góc với DE và NP là đường thẳng) $$ (vì $$) Trong tam giác DPF, ta có: $$ Vì $$ và $$, nên $$ Do đó, tam giác DFP là tam giác cân tại D.