Cho tam giác nhọn ABC với CE,BD là đường cao, H là giao điểm của CE và BD a) chứng minh A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn đặt là tâm (O) b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME,MD là các tiếp tuy...

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Bài toán này thuộc loại bài toán về hình học không gian, cụ thể là về đường tròn và tam giác. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng các định lý và tính chất của đường tròn và tam giác. Các bước logic để giải quyết bài toán này cùng với lý do cho những bước đó là: a) Đầu tiên, chúng ta cần chứng minh rằng A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý về góc ở tâm: Góc tạo bởi hai dây cắt nhau của một đường tròn bằng nửa tổng hoặc nửa hiệu của hai góc tạo bởi hai dây đó với bất kỳ điểm nào trên đường tròn. b) Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng ME,MD là các tiếp tuyến của (O). Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý về tiếp tuyến đường tròn: Một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn nếu và chỉ nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. 2. Giải quyết bài toán từng bước: a) Chứng minh A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn: - Theo định lý góc ở tâm, ta có $$ và $$. Từ đó suy ra $$ cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh ME,MD là các tiếp tuyến của (O): - Gọi I là trung điểm của HD. Do MI là trung tuyến trong tam giác MHD nên MI = 1/2 MH. - Gọi O là tâm đường tròn đi qua A,E,H,D. Do O là trung điểm của HD nên OH = OD = OE = OA = R (R là bán kính của đường tròn). - Vì MI = 1/2 MH = R/2 và MO = R nên ta có $$ là tam giác vuông tại I. - Vậy, ME, MD là các tiếp tuyến của đường tròn (O) vì chúng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc (định lý tiếp tuyến đường tròn).