................

a) Xét $\displaystyle \vartriangle OAB$ cân tại $\displaystyle O\ ( OA=OB)$ có: OC là đường trung tuyến
nên OC cũng là tia phân giác của $\displaystyle \widehat{xOy}$
b) Xét $\displaystyle \vartriangle OAD$ và $\displaystyle \vartriangle OBD$ có:
$\displaystyle OA=OB$ (gt)
$\displaystyle \widehat{BOD} =\widehat{AOD}$ (OD là tia phân giác của $\displaystyle \widehat{xOy}$)
OD: chung
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle OAD=\vartriangle OBD$ (c.g.c)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{OBD} =\widehat{OAD} =90^{0}$
Do đó $\displaystyle BD\perp Oy$
c) Do $\displaystyle \vartriangle OAD=\vartriangle OBD$ (cmt)
$\displaystyle \Rightarrow BD=AD$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\displaystyle \vartriangle DBN$ và $\displaystyle \vartriangle DAM$ có:
$\displaystyle \widehat{DBN} =\widehat{DAM} =90^{0}$
$\displaystyle DB=DA$ (cmt)
$\displaystyle \widehat{BDN} =\widehat{ADM}$ (hai góc đối đỉnh)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle DBN=\vartriangle DAM$ (c.g.c)
$\displaystyle \Rightarrow AM=BN$ (hai cạnh tương ứng)
Và $\displaystyle MD=ND$ (hai cạnh tương ứng)
$\displaystyle \Rightarrow BD+MD=AD+ND\Rightarrow DM=AN$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABM$ và $\displaystyle \vartriangle BAM$ có:
AB: chung
$\displaystyle BN=AM$ (cmt)
$\displaystyle MB=NA$ (cmt)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle ABM=\vartriangle BAM$ (c.c.c)
d) Xét $\displaystyle \vartriangle MDN$ có $\displaystyle MD=ND$ (cmt)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle MDN$ cân tại D $\displaystyle \Rightarrow \widehat{MND} =\frac{180^{0} -\widehat{MDN}}{2}$ (tính chất)
Xét $\displaystyle \vartriangle ADB$ có $\displaystyle AD=BD$ (cmt)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle ADB$ cân tại D $\displaystyle \Rightarrow \widehat{BAD} =\frac{180^{0} -\widehat{ADB}}{2}$ (tính chất)
Mà $\displaystyle \widehat{MDN} =\widehat{ADB} \Rightarrow \frac{180^{0} -\widehat{MDN}}{2} =\frac{180^{0} -\widehat{ADB}}{2}$
hay $\displaystyle \widehat{MND} =\widehat{BAD}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $\displaystyle AB//MN$