chứng minh 7^2041 + 3^2041 - 10 chia hết cho 70

 -Ta có $\displaystyle 7^{4k}( k\in N)$ luôn có chữ số tận cùng bằng 1
Nên $\displaystyle 7^{4.510}$ có tận cùng bằng 1
SUy ra $\displaystyle 7^{4.510+1} =7^{2041}$ có tận cùng là 7
- Ta có $\displaystyle 3^{4k} \ ( k\in N)$ luôn có chữ số tận cùng bằng 1
Nên $\displaystyle 3^{4.510}$ có tận cùng bằng 1
Suy ra $\displaystyle 3^{4.510+1} =3^{2041}$ có tận cùng bằng 3
suy ra $\displaystyle 7^{2041} +3^{2041} -10$ có tận cùng bằng 0
Suy ra $\displaystyle 7^{2041} +3^{2041} -10$  chia hết cho 10 (1)
Có  $\displaystyle 7^{2041} +3^{2041} -10=7^{2041} +3^{2041} -3-7$ 
$\displaystyle \Rightarrow 7^{2041} +3^{2041} -10=7.\left( 7^{2040} -1\right) +3.\left( 3^{2040} -1\right)$
Ta có :Dấu hiệu số chia hết cho 7 là khi ta áp dụng quy tắc sau: cắt giảm chữ số cuối cùng của số đi 1 số, nhân đôi chữ số đã cắt giảm và lấy số cắt giảm trừ đi số đã nhân đôi. Nếu kết quả là 0 hoặc là một số chia hết cho 7, thì số ban đầu cũng chia hết cho 7.
Ta có $\displaystyle 7.\left( 7^{2040} -1\right)$ chia hết cho 7,
$\displaystyle 3.\left( 3^{2040} -1\right)$ có chữ số tận cùng là 0, Lấy 0.2-0=0
suy ra $\displaystyle 3.\left( 3^{2040} -1\right)$ chia hết cho 7
Do đó $\displaystyle 7.\left( 7^{2040} -1\right) +3.\left( 3^{2040} -1\right)$ chia hết cho 7 (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\displaystyle 7^{2041} +3^{2041} -10$ chia hết cho 7.10=70