Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
03/12/2023
03/12/2023
Với $\displaystyle n\ =\ 1$ thì $\displaystyle 1^{3} \ +\ 2^{3} \ +\ 3^{3} =36\ $chia hết cho $\displaystyle 9$.
Giả sử$\displaystyle \ k^{3} \ \ +\ ( k\ +\ 1) \ ^{3} \ +\ ( k\ +\ 2)^{3}$ chia hết cho $\displaystyle 9\ ( k\ \geqslant \ 1$ )
Ta chứng minh mệnh đề đúng với $\displaystyle n=k+1$ , tức là:
$\displaystyle ( k\ +\ 1) \ ^{3} \ +\ ( k\ +\ 2)^{3} +( k\ +\ 3)^{3} \ $chia hết cho $\displaystyle 9$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\mathrm{có} \ ( k\ +\ 1) \ ^{3} \ +\ ( k\ +\ 2)^{3} +( k\ +\ 3)^{3}\\
=\ ( k\ +\ 1) \ ^{3} \ +\ ( k\ +\ 2)^{3} +k^{3} \ +\ 9k^{2} \ +\ 27k\ +\ 27\\
=\ \left[ k^{3} \ +\ \ ( k\ +\ 1) \ ^{3} \ +\ ( k\ +\ 2)^{3}\right] \ +\ 9\left( k^{3} \ +\ 3k^{2} +\ 3\right)
\end{array}$
Mà $\displaystyle \left[ k^{3} \ +\ \ ( k\ +\ 1) \ ^{3} \ +\ ( k\ +\ 2)^{3}\right]$ chia hết cho $\displaystyle 9$ do giả thiết quy nạp còn $\displaystyle 9\left( k^{3} \ +\ 3k^{2} +\ 3\right)$ chia hết cho $\displaystyle 9$ với mọi $\displaystyle k$.
Do đó$\displaystyle \ \left[( k\ +\ 1) \ ^{3} \ +\ ( k\ +\ 2)^{3} +( k\ +\ 3)^{3} \ \right]$ chia hết cho $\displaystyle 9$.
⟹ đpcm
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
7 giờ trước
8 giờ trước
8 giờ trước
Top thành viên trả lời