có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2021 sao cho n^2+2021 chia hết cho 30

Question

Nhungluong · Accepted Answer

$\displaystyle để\ n^{2} +2021\vdots 30$
$\displaystyle \Longrightarrow \left( n^{2} -n\right) +( n+2021) \vdots 30$
$\displaystyle \Longrightarrow ( n+2021) \vdots 30$
$\displaystyle \Longrightarrow n+11+2010\vdots 30$
$\displaystyle \Longrightarrow n+11\vdots 30$
$\displaystyle \Longrightarrow n+11=30k$
Vì n⩾0$\displaystyle \Longrightarrow n+11\geqslant 11$
$\displaystyle \Longrightarrow 30k\geqslant 11\Longrightarrow k >0$
$\displaystyle \Longrightarrow n=30k-11$
mà $\displaystyle n\leqslant 2021$
$\displaystyle \Longrightarrow 30k-11\leqslant 2021$
$\displaystyle \Longrightarrow k\leqslant 67$
Lại có k>0 $\displaystyle \Longrightarrow 1\leqslant k\leqslant 67$
$\displaystyle \Longrightarrow có\ $67 số n thỏa mãn để có dạng $\displaystyle 30k-11$
Với $\displaystyle k\in N$và $\displaystyle 1\leqslant k\leqslant 67$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số tự nhiên n không vượt quá 2021 sao cho n^2 + 2021 chia hết cho 30.

Để bắt đầu, chúng ta cần xác định các số tự nhiên nào có thể làm cho n^2 + 2021 chia hết cho 30. Để làm điều này, chúng ta sẽ phân tích 30 thành các thừa số nguyên tố: 30 = 2 * 3 * 5.

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng định lý về chia hết để xác định điều kiện chia hết của n^2 + 2021 cho mỗi thừa số nguyên tố. Điều này có nghĩa là chúng ta cần xác định điều kiện chia hết của n^2 + 2021 cho 2, 3 và 5.

Đầu tiên, chúng ta xét điều kiện chia hết cho 2. Để n^2 + 2021 chia hết cho 2, n^2 phải là số chẵn. Tuy nhiên, vì n là số tự nhiên, n^2 luôn là số lẻ hoặc chẵn. Do đó, n^2 + 2021 không thể chia hết cho 2.

Tiếp theo, chúng ta xét điều kiện chia hết cho 3. Để n^2 + 2021 chia hết cho 3, tổng các chữ số của n^2 + 2021 phải chia hết cho 3. Tuy nhiên, vì 2021 không chia hết cho 3, n^2 + 2021 cũng không thể chia hết cho 3.

Cuối cùng, chúng ta xét điều kiện chia hết cho 5. Để n^2 + 2021 chia hết cho 5, chữ số cuối cùng của n^2 + 2021 phải là 0 hoặc 5. Tuy nhiên, chữ số cuối cùng của 2021 là 1, do đó n^2 + 2021 không thể chia hết cho 5.

Vì không có thừa số nguyên tố nào trong 30 mà n^2 + 2021 phải chia hết cho, n^2 + 2021 không thể chia hết cho 30. Do đó, không có số tự nhiên n nào không vượt quá 2021 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Vậy, câu trả lời cuối cùng là 0.