Cho hình thang ABCD ( AB//CD). Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC.
a) Chứng minh FE//AB
b) Chứng minh FG//CD
c) Chứng minh E, F, G, H thẳng hàng

Question

Linhxinh · Accepted Answer

a.Ta có: E, F là trung điểm DA, DB
⟹ EF là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle DAB$ ⟹ EF//AB
b.Ta có: E, G là trung điểm AD, AC
⟹ EG là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle $ADC ⟹ EG//DC
Mà AB//CD ⟹ EG//AB
EF//AB
⟹ E, F, G thẳng hàng ⟹ FG//AB
⟹FG//CD(//AB)
c.Ta có: G, H là trung điểm AC, BC⟹ HG là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle $CAB ⟹ GH//AB
Mà GE//AB, FG//AB
⟹ E, F, G, H thẳng hàng

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng hệ tọa độ Descartes. Đầu tiên, ta gán tọa độ cho các điểm trong hình thang ABCD như sau:

A(0, 0), B(4, 0), C(3, 2), D(1, 2).

Tiếp theo, ta tính tọa độ của các điểm E, F, G, H.

E là trung điểm của AD, nên ta có công thức tính trung điểm như sau:

$E = \left(\frac{{x_A + x_D}}{2}, \frac{{y_A + y_D}}{2}\right)$.

Thay vào giá trị tọa độ của A và D, ta có:

$E = \left(\frac{{0 + 1}}{2}, \frac{{0 + 2}}{2}\right) = (0.5, 1.5)$.

Tương tự, ta tính được tọa độ của F, G, H:

$F = \left(\frac{{x_B + x_D}}{2}, \frac{{y_B + y_D}}{2}\right) = \left(\frac{{4 + 1}}{2}, \frac{{0 + 2}}{2}\right) = (2.5, 1.5)$.

$G = \left(\frac{{x_A + x_C}}{2}, \frac{{y_A + y_C}}{2}\right) = \left(\frac{{0 + 3}}{2}, \frac{{0 + 2}}{2}\right) = (1.5, 1.5)$.

$H = \left(\frac{{x_B + x_C}}{2}, \frac{{y_B + y_C}}{2}\right) = \left(\frac{{4 + 3}}{2}, \frac{{0 + 2}}{2}\right) = (3.5, 1.5)$.

a) Để chứng minh FE//AB, ta cần chứng minh rằng hai đường thẳng này có cùng hệ số góc. Ta tính hệ số góc của đường thẳng FE và AB.

Hệ số góc của đường thẳng FE là:

$m_{FE} = \frac{{y_F - y_E}}{{x_F - x_E}} = \frac{{1.5 - 1.5}}{{2.5 - 0.5}} = 0$.

Hệ số góc của đường thẳng AB là:

$m_{AB} = \frac{{y_B - y_A}}{{x_B - x_A}} = \frac{{0 - 0}}{{4 - 0}} = 0$.

Vì hai đường thẳng có cùng hệ số góc bằng 0, nên chúng là song song, tức là FE//AB.

b) Tương tự, để chứng minh FG//CD, ta tính hệ số góc của đường thẳng FG và CD.

Hệ số góc của đường thẳng FG là:

$m_{FG} = \frac{{y_F - y_G}}{{x_F - x_G}} = \frac{{1.5 - 1.5}}{{2.5 - 1.5}} = 0$.

Hệ số góc của đường thẳng CD là:

$m_{CD} = \frac{{y_D - y_C}}{{x_D - x_C}} = \frac{{2 - 2}}{{1 - 3}} = 0$.

Vì hai đường thẳng có cùng hệ số góc bằng 0, nên chúng là song song, tức là FG//CD.

c) Để chứng minh E, F, G, H thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng tổng các hệ số góc của các đoạn thẳng EF, FG và GH bằng 180 độ.

Hệ số góc của đoạn thẳng EF là:

$m_{EF} = \frac{{y_F - y_E}}{{x_F - x_E}} = \frac{{1.5 - 1.5}}{{2.5 - 0.5}} = 0$.

Hệ số góc của đoạn thẳng FG là:

$m_{FG} = \frac{{y_G - y_F}}{{x_G - x_F}} = \frac{{1.5 - 1.5}}{{1.5 - 2.5}} = 0$.

Hệ số góc của đoạn thẳng GH là:

$m_{GH} = \frac{{y_H - y_G}}{{x_H - x_G}} = \frac{{1.5 - 1.5}}{{3.5 - 1.5}} = 0$.

Tổng các hệ số góc là:

$m_{EF} + m_{FG} + m_{GH} = 0 + 0 + 0 = 0$.

Vì tổng các hệ số góc bằng 0, nên E, F, G, H thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh được a), b), c) đều đúng.

호앙 · Answer

{"userId":5158815,"userName":"Hà Linh Ngô"}a) Ta có E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BD. Do đó, theo định lí trung điểm, ta có EF//AB.

b) Ta có F là trung điểm của BD và G là trung điểm của AC. Do đó, theo định lí trung điểm, ta có FG//CD.

c) Để chứng minh E, F, G, H thẳng hàng, ta sử dụng định lí trung điểm.

Ta đã biết E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BD. Vậy, theo định lí trung điểm, ta có EF//AB.

Tương tự, ta đã biết G là trung điểm của AC và H là trung điểm của BC. Vậy, theo định lí trung điểm, ta có GH//CD.

Do AB//CD (theo đề bài), nên ta có EF//AB và GH//CD.

Vậy, theo định lí song song, ta có EF//GH.

Từ đó, suy ra E, F, G, H thẳng hàng.

Cho hình thang ABCD ( AB//CD). Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. a) Chứng minh FE//AB b) Chứng minh FG//CD c) Chứng minh E, F, G, H thẳng hàng