Cho đường tròn tâm O đường kính AB và C là một điểm trên đường tròn (C khác A và B ). Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp tuyến tại A của ( O ) tại M; MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh: OI ⊥ AC và tam giác ABC vuông tại C.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của ( O ) .
c) Chứng minh K là trung điểm của CH.

Question

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và C là một điểm trên đường tròn (C khác A và B ). Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp tuyến tại A của ( O )  tại M; MB cắt CH tại K. 
a) Chứng minh: OI ⊥ AC và tam giác ABC vuông tại C. 
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của ( O )  . 
c) Chứng minh K là trung điểm của CH.

Miyayayaya · Accepted Answer

a.
I là trung điểm của dây AC (không đi qua tâm)
Suy ra OI vuông góc với AC
Có $\displaystyle \widehat{ACB} =90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra tam giác ABC vuông tại C
b.
Tam giác AOC cân tại O có OI là trung tuyến nên OI cũng là phân giác
Suy ra $\displaystyle \widehat{MOA} =\widehat{MOC}$
Xét 2 tam giác MOA và MOC có:
MO chung
OA=OC(=R)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{MOA} =\widehat{MOC}\
\Rightarrow \vartriangle MOA=\vartriangle MOC( c.g.c)\
\Rightarrow \widehat{MCO} =\widehat{MAO} =90^{o}\
\Rightarrow MC\bot OC
\end{array}$
Suy ra MC là tiếp tuyến của (O)
c.
Tam giác MAB có KH//MA(cùng vuông góc với AB)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \frac{KH}{AM} =\frac{HB}{AB} \Rightarrow KH=\frac{AM.HB}{AB} =\frac{AM.HB}{2.AO} \Rightarrow 2KH=\frac{AM.HB}{AO}( 1)\
CB//MO\ ( \bot AC)\
\Rightarrow \widehat{MOA} =\widehat{CBH} \ ( đồng\ vị)\
\Rightarrow \vartriangle MOA\sim \vartriangle CBH( g.g)\
\Rightarrow \frac{MA}{CH} =\frac{AO}{HB} \Rightarrow CH=\frac{AM.HB}{AO}( 2)\
( 1) ,( 2) \Rightarrow CH=2KH
\end{array}$
Hay K là trung điểm của CH

Timi · Answer

1. Đây là một bài toán hình học với đường tròn và các đường thẳng. Chúng ta cần chứng minh một số tính chất của các đường thẳng và tam giác trong hình.

a) Để chứng minh OI ⊥ AC, ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn và đường kính. Vì AB là đường kính của đường tròn, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại C theo tính chất của tam giác vuông nội tiếp đường tròn. Đồng thời, I là trung điểm của AC, nên AI = IC. Vì vậy, ta có hai cạnh góc vuông bằng nhau, từ đó suy ra OI ⊥ AC.

b) Để chứng minh MC là tiếp tuyến của (O), ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp. Ta biết rằng góc nội tiếp ở đỉnh của tam giác vuông ABC bằng góc ngoại tiếp ở đỉnh đối diện. Do đó, góc MBC = góc MAC. Nhưng góc MAC là góc ngoại tiếp ở đỉnh A của tam giác vuông ABC, nên góc MBC cũng là góc ngoại tiếp ở đỉnh B của tam giác vuông ABC. Điều này chỉ ra rằng MC là tiếp tuyến của (O).

c) Để chứng minh K là trung điểm của CH, ta sẽ sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm và đường thẳng song song. Vì I là trung điểm của AC, nên KH là đường thẳng đi qua trung điểm của AC. Từ a), ta đã biết OI ⊥ AC, nghĩa là OI song song với KH. Như vậy, K là trung điểm của CH.

2. 
a) Chứng minh: OI ⊥ AC và tam giác ABC vuông tại C.
- Ta đã chứng minh OI ⊥ AC trong bước a) bằng cách sử dụng tính chất của đường tròn và đường kính.
- Để chứng minh tam giác ABC vuông tại C, ta sử dụng tính chất của tam giác vuông nội tiếp đường tròn. Vì AB là đường kính của đường tròn, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại C.

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O).
- Ta đã chứng minh rằng góc MBC = góc MAC trong bước a). Do đó, góc MBC là góc ngoại tiếp ở đỉnh B của tam giác vuông ABC.
- Vì góc ngoại tiếp ở đỉnh B của tam giác vuông ABC bằng góc nội tiếp ở đỉnh A, nên MC là tiếp tuyến của (O).

c) Chứng minh K là trung điểm của CH.
- Ta đã chứng minh rằng OI song song với KH trong bước c). Do I là trung điểm của AC, nên K là trung điểm của CH.

Tan Hà Van · Answer

{"userId":5158994,"userName":"ooooo1212"}

1. Đây là một bài toán hình học với đường tròn và các đường thẳng. Chúng ta cần chứng minh một số tính chất của các đường thẳng và tam giác trong hình.

a) Để chứng minh OI ⊥ AC, ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn và đường kính. Vì AB là đường kính của đường tròn, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại C theo tính chất của tam giác vuông nội tiếp đường tròn. Đồng thời, I là trung điểm của AC, nên AI = IC. Vì vậy, ta có hai cạnh góc vuông bằng nhau, từ đó suy ra OI ⊥ AC.

b) Để chứng minh MC là tiếp tuyến của (O), ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp. Ta biết rằng góc nội tiếp ở đỉnh của tam giác vuông ABC bằng góc ngoại tiếp ở đỉnh đối diện. Do đó, góc MBC = góc MAC. Nhưng góc MAC là góc ngoại tiếp ở đỉnh A của tam giác vuông ABC, nên góc MBC cũng là góc ngoại tiếp ở đỉnh B của tam giác vuông ABC. Điều này chỉ ra rằng MC là tiếp tuyến của (O).

c) Để chứng minh K là trung điểm của CH, ta sẽ sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm và đường thẳng song song. Vì I là trung điểm của AC, nên KH là đường thẳng đi qua trung điểm của AC. Từ a), ta đã biết OI ⊥ AC, nghĩa là OI song song với KH. Như vậy, K là trung điểm của CH.

2.

a) Chứng minh: OI ⊥ AC và tam giác ABC vuông tại C.

- Ta đã chứng minh OI ⊥ AC trong bước a) bằng cách sử dụng tính chất của đường tròn và đường kính.

- Để chứng minh tam giác ABC vuông tại C, ta sử dụng tính chất của tam giác vuông nội tiếp đường tròn. Vì AB là đường kính của đường tròn, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại C.

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O).

- Ta đã chứng minh rằng góc MBC = góc MAC trong bước a). Do đó, góc MBC là góc ngoại tiếp ở đỉnh B của tam giác vuông ABC.

- Vì góc ngoại tiếp ở đỉnh B của tam giác vuông ABC bằng góc nội tiếp ở đỉnh A, nên MC là tiếp tuyến của (O).

c) Chứng minh K là trung điểm của CH.

- Ta đã chứng minh rằng OI song song với KH trong bước c). Do I là trung điểm của AC, nên K là trung điểm của CH.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và C là một điểm trên đường tròn (C khác A và B ). Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp tuyến tại A của ( O ) tại M; MB cắt CH tại K....