Giúp mình với! Câu11. (1,0 điểm):Cho phương trình: $x^2-2(m-2)x+m^2-3m-2=0.$ Tìm mđể phương trình,đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn: $x^2_1-2x_2(x_2-2)+m^2-7m+6=0.$

Question

Accepted Answer

{"userId":5259082,"userName":"Gơn hướng nội 🎶"}

Để phương trình $x^2 - 2(m-2)x + m^2 - 3m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thì $\Delta' > 0$.

$\Delta' = (m-2)^2 - (m^2 - 3m - 2) = m^2 - 4m + 4 - m^2 + 3m + 2 = -m + 6$

$\Delta' > 0 \Leftrightarrow -m + 6 > 0 \Leftrightarrow m < 6$.

Áp dụng định lý Viète, ta có:

$x_1 + x_2 = 2(m-2)$

$x_1x_2 = m^2 - 3m - 2$

Theo đề bài, $x_1^2 - 2x_2(x_2 - 2) + m^2 - 7m + 6 = 0$.

$x_1^2 - 2x_2^2 + 4x_2 + m^2 - 7m + 6 = 0$

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 3x_2^2 + 4x_2 + m^2 - 7m + 6 = 0$

$4(m-2)^2 - 2(m^2 - 3m - 2) - 3x_2^2 + 4x_2 + m^2 - 7m + 6 = 0$

$4(m^2 - 4m + 4) - 2m^2 + 6m + 4 - 3x_2^2 + 4x_2 + m^2 - 7m + 6 = 0$

$4m^2 - 16m + 16 - 2m^2 + 6m + 4 - 3x_2^2 + 4x_2 + m^2 - 7m + 6 = 0$

$3m^2 - 17m + 26 - 3x_2^2 + 4x_2 = 0$

$3m^2 - 17m + 26 = 3x_2^2 - 4x_2$

Vì $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 2(m-2)x + m^2 - 3m - 2 = 0$, nên:

$x_2^2 - 2(m-2)x_2 + m^2 - 3m - 2 = 0$

$x_2^2 = 2(m-2)x_2 - m^2 + 3m + 2$

$3m^2 - 17m + 26 = 3[2(m-2)x_2 - m^2 + 3m + 2] - 4x_2$

$3m^2 - 17m + 26 = 6(m-2)x_2 - 3m^2 + 9m + 6 - 4x_2$

$3m^2 - 17m + 26 + 3m^2 - 9m - 6 = 6(m-2)x_2 - 4x_2$

$6m^2 - 26m + 20 = (6m - 12 - 4)x_2$

$6m^2 - 26m + 20 = (6m - 16)x_2$

$2(3m^2 - 13m + 10) = 2(3m - 8)x_2$

$(3m - 8)x_2 = 3m^2 - 13m + 10$

$(3m - 8)x_2 = (3m - 10)(m - 1)$

Nếu $3m - 8 e 0 \Leftrightarrow m e \frac{8}{3}$ thì $x_2 = \frac{(3m - 10)(m - 1)}{3m - 8}$.

Thay $x_2 = \frac{(3m - 10)(m - 1)}{3m - 8}$ vào $x_2^2 - 2(m-2)x_2 + m^2 - 3m - 2 = 0$, ta giải ra $m$.

Nếu $m = \frac{8}{3}$, phương trình trở thành

$6(\frac{8}{3})^2 - 26(\frac{8}{3}) + 20 = 0$

$6.\frac{64}{9} - \frac{208}{3} + 20 = 0$

$\frac{128}{3} - \frac{208}{3} + \frac{60}{3} = 0$

$\frac{-80}{3} + \frac{60}{3} = \frac{-20}{3} = 0$, vô lý.

Vậy $m e \frac{8}{3}$.

Giải $x_2^2 - 2(m-2)x_2 + m^2 - 3m - 2 = 0$:

$x_2 = \frac{2(m-2) \pm \sqrt{4(m-2)^2 - 4(m^2 - 3m - 2)}}{2} = \frac{2(m-2) \pm \sqrt{4(m^2 - 4m + 4) - 4(m^2 - 3m - 2)}}{2} = \frac{2(m-2) \pm \sqrt{4(-m + 6)}}{2} = m-2 \pm \sqrt{-m+6}$.

$x_2 = \frac{(3m - 10)(m - 1)}{3m - 8}$

$m-2 \pm \sqrt{-m+6} = \frac{(3m - 10)(m - 1)}{3m - 8}$

Thử $m=2$:

$x^2 + 4 - 6 - 2 = 0$

$x^2 - 0x - 4 = 0$

$x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

$x_1 = 2, x_2 = -2$

$x_1^2 - 2x_2(x_2 - 2) + m^2 - 7m + 6 = 4 - 2(-2)(-2 - 2) + 4 - 14 + 6 = 4 - 16 + 4 - 14 + 6 = -16 < 0$ (không thỏa)

$3m^2 - 13m + 10 = (3m-10)(m-1) = 0$

$m=1 \Rightarrow x^2-2(1-2)x+1-3-2=0\Leftrightarrow x^2+2x-4=0$

$m=\frac{10}{3}$

$m = 2$ không thỏa mãn

$m=5: x^2-2(3)x+25-15-2=0$

$x^2-6x+8=0$

$x_1=2, x_2=4$

$x_1^2-2x_2(x_2-2)+m^2-7m+6=4-2(4)(2)+25-35+6=4-16+25-35+6=10-10=0$

Vậy $m=5$ thỏa mãn.

Final Answer: The final answer is $\boxed{5}$