Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC), đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AC. Đường thẳng HM cắt đường thẳng AB tại E. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. a)Chứng minh tứgiác AECF là hình bình hành....

1. Đây là một bài toán hình học trong tam giác vuông. Chúng ta cần chứng minh và sử dụng các tính chất của hình bình hành, đường thẳng song song và tỷ lệ đồng dạng để giải quyết bài toán. a) Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối xứng qua trung điểm. - Ta biết M là trung điểm của AC, vì vậy AM = MC. - Vì E là giao điểm của đường thẳng HM và AB, nên theo định lí cắt giao của đường thẳng, ta có: $$. - Do đó, $$. - Vậy tứ giác AECF là hình bình hành. b) Để chứng minh AH/AC = FK/EF, chúng ta sử dụng tính chất tỷ lệ đồng dạng của tam giác. - Ta biết F là điểm đối xứng của E qua M, nên EF // AC và $$. - Ta cũng biết đường thẳng FK song song với AH, nên $$. - Từ hai phương trình trên, ta có $$. - Vì AM = MC và AH là đường cao của tam giác ABC, nên $$. - Do đó, $$. - Vậy AH/AC = FK/EF. c) Để chứng minh PQ // AC, chúng ta sử dụng tính chất của đường thẳng song song và tỷ lệ đồng dạng. - Ta biết HQ // AB (do H là giao điểm của đường thẳng HQ và AB), nên theo tính chất đường thẳng song song, ta có $$. - Vì AECF là hình bình hành, nên $$. Nhưng $$, nên $$. - Vậy $$, từ đó suy ra $$. - Ta biết HC // AB (do H là giao điểm của đường thẳng HC và AB), nên theo tính chất đường thẳng song song, ta có $$. - Vì $$ và $$, nên $$. - Từ đó, ta suy ra PQ // AC (do có hai góc tương đồng). - Vậy PQ // AC. 2. Giải quyết từng bước: a) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành: - Ta biết M là trung điểm của AC, vì vậy AM = MC. - Vì E là giao điểm của đường thẳng HM và AB, nên theo định lí cắt giao của đường thẳng, ta có: $$. - Do đó, $$. - Vậy tứ giác AECF là hình bình hành. b) Chứng minh AH/AC = FK/EF: - Ta biết F là điểm đối xứng của E qua M, nên EF // AC và $$. - Ta cũng biết đường thẳng FK song song với AH, nên $$. - Từ hai phương trình trên, ta có $$. - Vì AM = MC và AH là đường cao của tam giác ABC, nên $$. - Do đó, $$. - Vậy AH/AC = FK/EF. c) Chứng minh PQ // AC: - Ta biết HQ // AB (do H là giao điểm của đường thẳng HQ và AB), nên theo tính chất đường thẳng song song, ta có $$. - Vì AECF là hình bình hành, nên $$. Nhưng $$, nên $$. - Vậy $$, từ đó suy ra $$. - Ta biết HC // AB (do H là giao điểm của đường thẳng HC và AB), nên theo tính chất đường thẳng song song, ta có $$. - Vì $$ và $$, nên $$. - Từ đó, ta suy ra PQ // AC (do có hai góc tương đồng). - Vậy PQ // AC.