Cách tìm điều kiện để Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

1. Đây là một bài toán về hệ phương trình tuyến tính. Để tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần xác định xem hệ phương trình có thể giải được hay không và nếu có thì số nghiệm của hệ phương trình là bao nhiêu. Các bước giải quyết bài toán: - Xác định ma trận hệ số của hệ phương trình. - Áp dụng phép biến đổi hàng để đưa ma trận hệ số về dạng tam giác trên. - Kiểm tra xem ma trận tam giác trên thu được có phải là ma trận tam giác trên cực đại hay không. - Nếu ma trận tam giác trên cực đại, kiểm tra xem các phần tử chéo chính có khác 0 hay không. - Nếu các phần tử chéo chính khác 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất. - Nếu có ít nhất một phần tử chéo chính bằng 0, hệ phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. 2. Giải quyết bài toán: Cho hệ phương trình: \[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases} \] Trong đó, \(a_{ij}\) là các hệ số, \(b_i\) là các hằng số và \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) là các ẩn. Bước 1: Xác định ma trận hệ số của hệ phương trình: \[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \] Bước 2: Áp dụng phép biến đổi hàng để đưa ma trận hệ số về dạng tam giác trên: - Đặt \(k = 1\). - Tìm phần tử \(a_{kk}\) khác 0 trong cột thứ \(k\) (nếu có). Nếu không tìm được, dừng lại. - Nếu tìm được, hoán đổi hàng thứ \(k\) với một hàng khác có phần tử \(a_{kk}\) khác 0. - Áp dụng phép biến đổi hàng để đưa các phần tử \(a_{ik}\) với \(i > k\) về 0. - Tăng \(k\) lên 1 và quay lại bước 2. Bước 3: Kiểm tra xem ma trận tam giác trên thu được có phải là ma trận tam giác trên cực đại hay không: - Nếu tất cả các phần tử chéo chính đều khác 0, ma trận tam giác trên là ma trận tam giác trên cực đại. - Nếu có ít nhất một phần tử chéo chính bằng 0, dừng lại. Bước 4: Kiểm tra xem các phần tử chéo chính có khác 0 hay không: - Nếu các phần tử chéo chính khác 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất. - Nếu có ít nhất một phần tử chéo chính bằng 0, hệ phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Vậy, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần kiểm tra các bước trên và xác định điều kiện cụ thể của hệ phương trình.