Cho Tam giác ABC vuông tại A ( AB

Question

Cho Tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) ,  có trung tuyến AM.  Kẻ MN vuông góc AB và MP vuông góc AC ( N thuộc AB; P thuộc AC?. 
a) tứ giác ANMP là hình gì?  Vì sao? 
b)  chứng minh NA=NB; PA=PC và tứ giác BMPN là hình bình hành. 
c)  kẻ đường cao AH của tam giác ABC,  MK song song AH (K thuộc AC) . chứng minh rằng BK vuông góc HN; BK song song HP

Accepted Answer

a) Tứ giác $\displaystyle ANMP$ có $\displaystyle \hat{A} =\hat{N} =\hat{P} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow ANMP$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có 3 góc bằng $\displaystyle 90^{0}$ là hình chữ nhật)
b) Tam giác $\displaystyle ABC$ có $\displaystyle MN\parallel AC$ (do cùng $\displaystyle \bot AB$) và $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ (giả thiết)
$\displaystyle \Rightarrow MN$ là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle ABC$
$\displaystyle \Rightarrow N$ là trung điểm của $\displaystyle AB$
$\displaystyle \Rightarrow NA=NB=\frac{1}{2} AB$
$\displaystyle \vartriangle ABC$ có $\displaystyle PM//AB$(vì cùng $\displaystyle \bot AC$) và $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ (gt)
$\displaystyle \Rightarrow MP$ là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle ABC$
$\displaystyle \Rightarrow P$ là trung điểm cạnh $\displaystyle AC$
$\displaystyle \Rightarrow PA=PC=\frac{1}{2} AC$
$\displaystyle MP$ là đường trung bình tam giác $\displaystyle ABC\Rightarrow MP//BN$ và $\displaystyle MP=\frac{1}{2} AB=BN$
$\displaystyle \Rightarrow BMPN$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có cặp cạnh đối song song bằng nhau là hình bình hành)
c,$\displaystyle \vartriangle ABH\bot H$ có $\displaystyle HN$ là đường trung tuyến với cạnh huyền $\displaystyle AB$
nên $\displaystyle NH=NB=NA\Rightarrow \vartriangle BHN$ cân đỉnh $\displaystyle N$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{NBH} =\widehat{NHB}$
$\displaystyle \vartriangle AHC\bot H$ có đường trung tuyến $\displaystyle HP$ ứng với cạnh huyền $\displaystyle AC$
nên $\displaystyle HP=PA=PC$
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle PHC$ cân đỉnh $\displaystyle P$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{PHC} =\widehat{PCH}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{NHB} +\widehat{PHC} =\widehat{NBH} +\widehat{PCH} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{NHP} =180^{0} −(\widehat{NHB} +\widehat{PHC}) =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow NH\bot PH$ (*)
Do $\displaystyle MK//AH$ mà $\displaystyle AH\bot BC\Rightarrow MK\bot BC$
$\displaystyle \vartriangle KBC$ có $\displaystyle KM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle KBC$ là tam giác cân đỉnh $\displaystyle K$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{KBC} =\widehat{KCH}$ (3)
Mà $\displaystyle \vartriangle PHC$ có $\displaystyle HP=PC\Rightarrow \vartriangle HPC$ cân đỉnh $\displaystyle P\Rightarrow \widehat{PCH} =\widehat{PHC}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\displaystyle \widehat{KBC} =\widehat{PHC}$
mà chúng ở vị trí đồng vị
$\displaystyle \Rightarrow BK//HP$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $\displaystyle BK\bot NH$ (đpcm)

Cho Tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) , có trung tuyến AM. Kẻ MN vuông góc AB và MP vuông góc AC ( N thuộc AB; P thuộc AC?. a) tứ giác ANMP là hình gì? Vì sao? b) chứng minh NA=NB; PA=PC và tứ giác...