Cho tam giác đều ABC cạnh a. người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trị của điểm M sao cho hình ch...

Vân Mực1. Đây là một bài toán tối ưu hóa trong hình học. Chúng ta cần tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho diện tích của hình chữ nhật MNPQ là lớn nhất.

  Bước 1: Vẽ tam giác đều ABC và hình chữ nhật MNPQ trên đó.

  Bước 2: Gọi x là độ dài BM, với 0 ≤ x ≤ a.

  Bước 3: Sử dụng công thức diện tích hình chữ nhật: Diện tích MNPQ = MN * MP = x * (a - x).

  Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích bằng cách tìm điểm M tương ứng.

2. Giải quyết bài toán:

  Bước 1: Vẽ tam giác đều ABC và hình chữ nhật MNPQ trên đó.

Unknown environment 'tikzpicture'

  Bước 2: Gọi x là độ dài BM, với 0 ≤ x ≤ a.

  Bước 3: Sử dụng công thức diện tích hình chữ nhật: Diện tích MNPQ = MN * MP = x * (a - x).

  Bước 4: Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích, ta cần tìm điểm M tương ứng.

  Để tìm điểm M tương ứng, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

  Đạo hàm của diện tích theo x:

ddx(x⋅(a−x))=a−2x

  Để tìm điểm M tương ứng, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0:

a−2x=0

  Từ đó, ta có x = a/2.

  Vậy, để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, điểm M cần nằm ở giữa cạnh BC, tức là x = a/2.

  Giá trị lớn nhất của diện tích là:

{Diện tích lớn nhất}=a2⋅(a−a2)=a24