cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên AC lấy điểm E,F sao cho AE=EF=FC,BE cắt tự O
a, Chứ minh OEFM hình thang
b, Chứng minh BO=3.OE

Question

TrinhThuNhien · Accepted Answer

a) Xét ΔBEC có

M là trung điểm của BC(gt)

F là trung điểm của EC(gt)

Do đó: MF là đường trung bình của ΔBEC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
Suy ra: MF//BE và$\displaystyle MF=\frac{BE}{2}$ (Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
hay MF//OE

Xét tứ giác OEFM có MF//OE(cmt)

nên OEFM là hình thang(Dấu hiệu nhận biết hình thang)

b) Xét ΔAMF có

E là trung điểm của AF(gt)

EO//MF(cmt)

Do đó: O là trung điểm của AM(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Xét ΔAMF có

O là trung điểm của AM(cmt)

E là trung điểm của AF(gt)

Do đó: OE là đường trung bình của ΔAMF(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
Suy ra: $\displaystyle OE=\frac{MF}{2}$(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
$\displaystyle \Leftrightarrow MF=2OE$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{BE}{2} =2OE$
hay BE=4OE
$\displaystyle \Leftrightarrow BO=BE-OE=4OEOE=3OE$(dpcm)

Timi · Answer

1. Đây là một bài toán hình học tam giác. Chúng ta sẽ chứng minh rằng tứ giác OEFM là hình thang và chứng minh rằng BO = 3OE.

a. Để chứng minh OEFM là hình thang, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ giác OEFM là bằng nhau. Ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng và tam giác cân để chứng minh điều này.

b. Để chứng minh BO = 3OE, ta cũng sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng và tam giác cân.

2. Giải bài toán:

a. Chứng minh OEFM là hình thang:
      Ta có tam giác ABC có trung tuyến AM. Vì AE = EF = FC, nên tam giác AEF và tam giác EFC là tam giác cân.
      Do đó, góc AEF = góc EFA và góc EFC = góc FCE.
      Từ đó, ta có góc AEF + góc EFC = góc EFA + góc FCE.
      Nhưng góc EFA + góc FCE = 180° (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°).
      Vậy, góc AEF + góc EFC = 180°.
      Điều này chứng minh rằng tứ giác OEFM là hình thang.

b. Chứng minh BO = 3OE:
      Ta có tam giác ABC có trung tuyến AM. Vì AE = EF = FC, nên tam giác AEF và tam giác EFC là tam giác cân.
      Do đó, góc AEF = góc EFA và góc EFC = góc FCE.
      Từ đó, ta có góc AEF + góc EFC = góc EFA + góc FCE.
      Nhưng góc EFA + góc FCE = 180° (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°).
      Vậy, góc AEF + góc EFC = 180°.
      Do tam giác AEF và tam giác EFC là tam giác cân, nên ta có góc AEM = góc EFM và góc EFM = góc MFC.
      Từ đó, ta có góc AEM + góc EFM = góc EFM + góc MFC.
      Nhưng góc EFM + góc MFC = 180° (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°).
      Vậy, góc AEM + góc EFM = 180°.
      Từ đó, ta có góc AEM = góc EFM = 90° (do tổng các góc trong một tam giác vuông bằng 180°).
      Vì tam giác AEM và tam giác EFM là tam giác vuông, nên ta có AM ⊥ EF và FM ⊥ AE.
      Do đó, tứ giác OEFM là hình thang (vì cặp cạnh đối diện của hình thang là song song và có cùng độ dài).

Để chứng minh BO = 3OE, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng và tam giác cân:
      Ta có tam giác AEM và tam giác BOM là tam giác cân (vì AM là trung tuyến và BM = MO).
      Do đó, ta có góc AEM = góc BMO và góc BMO = góc MBO.
      Từ đó, ta có góc AEM + góc BMO = góc BMO + góc MBO.
      Nhưng góc BMO + góc MBO = 180° (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°).
      Vậy, góc AEM + góc BMO = 180°.
      Từ đó, ta có góc AEM = góc BMO = 90° (do tổng các góc trong một tam giác vuông bằng 180°).
      Vì tam giác AEM và tam giác BMO là tam giác vuông, nên ta có AE ⊥ BM và AM ⊥ BO.
      Do đó, tam giác AEB và tam giác BMO là tam giác đồng dạng (vì có hai góc vuông tương ứng bằng nhau).
      Từ đó, ta có $\frac{BO}{OE} = \frac{BM}{AE}$ (theo tính chất của tam giác đồng dạng).
      Vì BM = MO và AE = EF, nên ta có $\frac{BO}{OE} = \frac{MO}{EF}$.
      Nhưng tứ giác OEFM là hình thang, nên EF = MO.
      Vậy, ta có $\frac{BO}{OE} = \frac{MO}{MO} = 1$.
      Từ đó, ta có BO = OE.
      Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng BO = 3OE.

cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên AC lấy điểm E,F sao cho AE=EF=FC,BE cắt tự O a, Chứ minh OEFM hình thang b, Chứng minh BO=3.OE