Cho hình thang cân ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành. Chứng minh: AMD = BNC. Gọi I là trung điểm của AC, Chứng minh M, I, N thẳng hàng.

1. Đây là một bài toán hình học trong đó chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác BMDN là hình bình hành và chứng minh rằng góc AMD bằng góc BNC. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang cân và sử dụng các định lý hình học cơ bản. 2. Giải quyết từng bước: a) Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành: - Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có MN // AD và MN = 1/2 AD (vì M và N là trung điểm). - Ta cũng biết rằng AB // CD (vì hình thang cân ABCD). - Vì MN // AD và AB // CD, theo định lý hai đường thẳng song song cắt một đường thẳng bất kỳ, ta có MN // AB. - Từ đó, ta suy ra tứ giác BMDN là hình bình hành (vì có hai cạnh đối nhau song song). b) Chứng minh góc AMD bằng góc BNC: - Gọi I là trung điểm của AC. Ta cần chứng minh M, I, N thẳng hàng. - Vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, ta có MI // AD và NI // BC (vì đường chia tỉ lệ bằng 1/2). - Vì AB // CD (hình thang cân ABCD), ta có MI // AB và NI // CD. - Từ đó, ta suy ra tứ giác AMIN và BNIC là tứ giác hai cặp đồng quy. - Theo định lý tứ giác hai cặp đồng quy, ta có góc AMD bằng góc BNC. c) Chứng minh M, I, N thẳng hàng: - Ta đã chứng minh được MI // AB và NI // CD. - Vì AB // CD (hình thang cân ABCD), ta có MI // AD và NI // BC. - Theo định lý hai đường thẳng song song cắt một đường thẳng bất kỳ, ta có MI // AD và NI // BC cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng MN. - Từ đó, ta suy ra M, I, N thẳng hàng. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tứ giác BMDN là hình bình hành và góc AMD bằng góc BNC.