Cho x, y, z là các số thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng biểu thức 2023xy + 2024yz+4047zx không thể nhận giá trị dương

Để chứng minh rằng biểu thức 2023xy + 2024yz + 4047zx không thể nhận giá trị dương, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược. Giả sử rằng biểu thức trên có thể nhận giá trị dương. Điều này có nghĩa là tồn tại các số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và 2023xy + 2024yz + 4047zx > 0. Ta biết rằng x + y + z = 0, vậy ta có thể giải phương trình này để tìm một biến dựa trên hai biến còn lại. Giả sử x = -y - z, thì ta có: 2023(-y - z)y + 2024(-y - z)z + 4047(-y - z)z > 0 -2023y^2 - 2023yz - 2023z^2 - 2024yz - 2024z^2 - 4047yz - 4047z^2 > 0 -2023y^2 - 6069yz - 2023z^2 - 4047z^2 > 0 -2023y^2 - 6069yz - 6069z^2 > 0 Chúng ta sẽ tiếp tục giả sử ngược bằng cách cho rằng biểu thức trên có thể nhận giá trị dương. Điều này có nghĩa là tồn tại các số y, z thỏa mãn -2023y^2 - 6069yz - 6069z^2 > 0. Ta sẽ xét biểu thức trên như một hàm số của y và z. Để biểu thức này nhận giá trị dương, ta cần xét dấu của hàm số này. Để xác định dấu của hàm số, ta sẽ xem xét hệ số của các thành phần bậc hai (y^2 và z^2). Ta thấy rằng cả hai hệ số này đều âm (-2023 và -6069). Vì vậy, ta có thể kết luận rằng hàm số này sẽ luôn nhận giá trị âm hoặc bằng không, không bao giờ đạt được giá trị dương. Do đó, giả sử ngược ban đầu là sai. Biểu thức 2023xy + 2024yz + 4047zx không thể nhận giá trị dương khi x + y + z = 0.