Cho hình chóp S.ABCD M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC. a) Chứng minh ( MNP ) // ( ABC ). b) Gọi H, G, L lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, SAC, SBC. Chứng minh. ( HGL ) // ( MNP ).

a) Để chứng minh (MNP) // (ABC), ta cần chứng minh rằng tỉ số đồng quy của các cạnh tương ứng của hai hình chóp này bằng nhau. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC và SD. Ta có: \(\frac{SA'}{AB'} = \frac{1}{2}\) (vì A' là trung điểm của SA) \(\frac{SB'}{BC'} = \frac{1}{2}\) (vì B' là trung điểm của SB) \(\frac{SC'}{CD'} = \frac{1}{2}\) (vì C' là trung điểm của SC) Vì \(A'B'C'D'\) là một hình bình hành (do các cạnh tương ứng bằng nhau và song song), nên ta có: \(\frac{A'B'}{B'C'} = \frac{SA'}{SC'}\) (vì A'B' và B'C' là hai đường chéo của hình bình hành) Từ đó, ta có: \(\frac{SA'}{AB'} \cdot \frac{SB'}{BC'} \cdot \frac{SC'}{CD'} = \frac{A'B'}{B'C'}\) Thay giá trị vào, ta được: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{A'B'}{B'C'}\) \(= \frac{1}{8}\) Vậy tỉ số đồng quy của các cạnh tương ứng của hai hình chóp là \(\frac{1}{8}\), không bằng nhau. Do đó, ta kết luận (MNP) không // (ABC). b) Để chứng minh (HGL) // (MNP), ta cần chứng minh rằng tỉ số đồng quy của các cạnh tương ứng của hai hình chóp này bằng nhau. Gọi H', G', L' lần lượt là trọng điểm của các tam giác SAB, SAC, SBC. Ta có: \(\frac{SH'}{HA'} = \frac{2}{3}\) (vì H' là trọng điểm của SAB) \(\frac{SG'}{GB'} = \frac{2}{3}\) (vì G' là trọng điểm của SAC) \(\frac{SL'}{LC'} = \frac{2}{3}\) (vì L' là trọng điểm của SBC) Vì \(H'G'L'\) là một tam giác đồng dạng với \(MNP\) (do các cạnh tương ứng song song và tỉ số đồng quy bằng nhau), nên ta có: \(\frac{SH'}{HA'} \cdot \frac{SG'}{GB'} \cdot \frac{SL'}{LC'} = \frac{MN}{NP}\) Thay giá trị vào, ta được: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{MN}{NP}\) \(= \frac{8}{27}\) Vậy tỉ số đồng quy của các cạnh tương ứng của hai hình chóp là \(\frac{8}{27}\), không bằng nhau. Do đó, ta kết luận (HGL) không // (MNP).