Bài 3: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC. a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Từ đó suy ra AH-DE. b) Gọi I, K lần...

Bài toán này là bài toán hình học về tam giác vuông và hình chữ nhật. Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán theo các bước sau: 1. Phần a: - Key idea: Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật. - Logical steps: + Sử dụng tính chất của tam giác vuông, ta biết rằng đường cao AH sẽ vuông góc với cạnh AB và AC. + Vì vậy, H là hình chiếu vuông góc của A lên AB và AC. + Điểm D là hình chiếu của H lên AB, và điểm E là hình chiếu của H lên AC. + Ta cần chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, tức là AD = EH và DH = AE. - Reasons for the steps: + Tính chất của tam giác vuông cho biết đường cao AH vuông góc với cạnh AB và AC. + H là hình chiếu vuông góc của A lên AB và AC. + D là hình chiếu của H lên AB, và E là hình chiếu của H lên AC. + Để chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AD = EH và DH = AE. 2. Giải phần a: - Ta cần chứng minh AD = EH và DH = AE. - Vì H là hình chiếu của A lên AB và AC, nên AH là đường cao của tam giác ABC. - Do đó, ta có: + AD là hình chiếu của H lên AB, nên AD ⊥ AB. + EH là hình chiếu của H lên AC, nên EH ⊥ AC. + DH là hình chiếu của H lên BC, nên DH ⊥ BC. + AE là hình chiếu của H lên BC, nên AE ⊥ BC. - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB ⊥ AC. - Do đó, ta có: + AD ⊥ AB và EH ⊥ AC, nên AD || EH (do hai đường thẳng vuông góc cùng một đường thẳng là song song). + DH ⊥ BC và AE ⊥ BC, nên DH || AE (do hai đường thẳng vuông góc cùng một đường thẳng là song song). - Vậy, tứ giác ADHE là hình chữ nhật. 3. Phần b: - Key idea: Chứng minh DI // EK. - Logical steps: + Gọi I là trung điểm của BH và K là trung điểm của CH. + Ta cần chứng minh DI // EK. - Reasons for the steps: + Để chứng minh DI // EK, ta cần sử dụng tính chất của trung điểm và các đường cao trong tam giác. 4. Giải phần b: - Gọi I là trung điểm của BH và K là trung điểm của CH. - Ta cần chứng minh DI // EK. - Vì I là trung điểm của BH, nên BI = IH. - Tương tự, vì K là trung điểm của CH, nên CK = KH. - Ta có: + BH ⊥ AC và CH ⊥ AB (do đường cao AH). + BI ⊥ AC và CK ⊥ AB (do I và K lần lượt là trung điểm của BH và CH). - Vậy, ta có tứ giác BIKC là hình bình hành (do có hai cạnh đối song song và bằng nhau). - Do đó, ta có DI || EK (do là các đường chéo của hình bình hành). 5. Phần c: - Key idea: Chứng minh HK.BH = IH.HC. - Logical steps: + Ta cần chứng minh HK.BH = IH.HC. - Reasons for the steps: + Để chứng minh HK.BH = IH.HC, ta cần sử dụng tính chất của trung điểm và các đường cao trong tam giác. 6. Giải phần c: - Ta cần chứng minh HK.BH = IH.HC. - Vì I là trung điểm của BH và K là trung điểm của CH, nên ta có: + HK = 2IK (do K là trung điểm của CH và HK là đường chéo của hình bình hành BIKC). + BH = 2IH (do I là trung điểm của BH và BH là đường chéo của hình bình hành BIKC). - Vậy, ta có HK.BH = 2IK.2IH = 4(IK.IH). - Tương tự, ta cũng có HC = 2CK và IH = 2BI. - Vậy, ta có IH.HC = 4(BI.CK) = 4(IK.IH). - Vậy, ta có HK.BH = IH.HC. Kết luận: - Phần a: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật. - Phần b: DI // EK. - Phần c: HK.BH = IH.HC.