Cho tứ diện ABCD có M,N lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh
MN//(CAB)
MN//(DAB)

Question

Cho tứ diện ABCD có M,N lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh 
MN//(CAB)
MN//(DAB)

TrinhThuNhi · Accepted Answer

- Gọi I là trung điểm của AD.

- Do M, N là trọng tâm tam giác ABD, ACD nên:

- Theo định lý Talet có: MN // BC.

- Mà: , BC$\displaystyle \subset $ (ABC).

- Vậy: MN // (ABC).

Timi · Answer

Bài toán này là bài toán hình học trong không gian. Chúng ta cần chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CAB) và mặt phẳng (DAB).

Bước 1: Chứng minh MN song song với mặt phẳng (CAB)
Để chứng minh MN song song với mặt phẳng (CAB), ta cần chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (CAB).

Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng AC. Ta có:
$\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MC}$ (vì M là trọng tâm của tam giác ACD)
$\overrightarrow{NP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ (vì N là trọng tâm của tam giác BCD)

Vì $\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{NC}$ nằm trong mặt phẳng (CAB), nên $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{NP}$ cũng nằm trong mặt phẳng (CAB).

Do đó, ta có $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{NP}$ nằm trong mặt phẳng (CAB) và vuông góc với đường thẳng AB (vì P là trung điểm của AC).

Vậy, ta kết luận rằng MN song song với mặt phẳng (CAB).

Bước 2: Chứng minh MN song song với mặt phẳng (DAB)
Tương tự như bước 1, để chứng minh MN song song với mặt phẳng (DAB), ta cần chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (DAB).

Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng BD. Ta có:
$\overrightarrow{MQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MD}$ (vì M là trọng tâm của tam giác ACD)
$\overrightarrow{NQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ND}$ (vì N là trọng tâm của tam giác BCD)

Vì $\overrightarrow{MD}$ và $\overrightarrow{ND}$ nằm trong mặt phẳng (DAB), nên $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cũng nằm trong mặt phẳng (DAB).

Do đó, ta có $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{NQ}$ nằm trong mặt phẳng (DAB) và vuông góc với đường thẳng AB (vì Q là trung điểm của BD).

Vậy, ta kết luận rằng MN song song với mặt phẳng (DAB).

Với các bước chứng minh trên, ta đã chứng minh được rằng MN song song với cả mặt phẳng (CAB) và mặt phẳng (DAB).

zHyperSky syoct · Answer

{"userId":5165933,"userName":"Thu Quỳnh "}

Phan Trọng Huy · Answer

{"userId":5165933,"userName":"Thu Quỳnh "}Để chứng minh MN//(CAB) và MN//(DAB), ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm trong tam giác.

Gọi E là trung điểm của AB. Ta cần chứng minh rằng MN//CE và MN//DE.

Vì M là trọng tâm của tam giác ACD, nên AM = 2MC.

Vì N là trọng tâm của tam giác BCD, nên BN = 2NC.

Ta có:

AM = 2MC

BN = 2NC

Do đó, AM + BN = 2MC + 2NC = 2(MC + NC) = 2MN

Vậy, ta có AM + BN = 2MN.

Theo định lí trọng tâm, ta biết rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC (hay G là trọng tâm của tam giác CAB).

Vì vậy, ta có AM + BN = 2MN = AG + GB.

Nhưng ta cũng biết rằng AE = EB và CE là đường phân giác của góc CAB.

Do đó, theo định lí đường phân giác trong tam giác, ta có AG = GC và CE//AB.

Vậy, ta có AG + GB = 2AG = 2GC = AM + BN.

Từ đó, ta suy ra AM + BN = AG + GB.

Do đó, ta có MN//CE.

Tương tự, ta có thể chứng minh MN//DE bằng cách sử dụng tính chất của trọng tâm và đường phân giác trong tam giác.

Vậy, ta đã chứng minh được MN//(CAB) và MN//(DAB

Cho tứ diện ABCD có M,N lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh MN//(CAB) MN//(DAB)