Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a, (x-2)^2-(x-3)(x-1) b, (x-1)^3-(x+1)^3+6(x+1)(x-1) c, (x+1)(x^2-x+1)-(x-1)(x^2+x+1) d, (x+3)^2-(x-3)^2-12x Bài 2: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ...

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a, $(x-2)^2-(x-3)(x-1)$ Đây là một bài toán rút gọn biểu thức đại số. Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức nhân đôi và khai triển đại số. Bước 1: Sử dụng công thức nhân đôi $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ để khai triển $(x-2)^2$: $(x-2)^2 = x^2 - 2(x)(2) + 2^2 = x^2 - 4x + 4$ Bước 2: Sử dụng công thức nhân đôi $(a-b)(a+c) = a^2 - ab + ac - bc$ để khai triển $(x-3)(x-1)$: $(x-3)(x-1) = x^2 - x - 3x + 3 = x^2 - 4x + 3$ Bước 3: Thay các kết quả vào biểu thức ban đầu: $(x-2)^2 - (x-3)(x-1) = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 4x + 3) = x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4x - 3 = \boxed{1}$ Vậy biểu thức đã được rút gọn thành 1. b, $(x-1)^3-(x+1)^3+6(x+1)(x-1)$ Đây cũng là một bài toán rút gọn biểu thức đại số. Ta sẽ sử dụng công thức khai triển khối lập phương và công thức nhân đôi để giải quyết bài toán này. Bước 1: Sử dụng công thức khai triển khối lập phương $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ để khai triển $(x-1)^3$: $(x-1)^3 = x^3 - 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ Bước 2: Sử dụng công thức khai triển khối lập phương $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ để khai triển $(x+1)^3$: $(x+1)^3 = x^3 + 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ Bước 3: Sử dụng công thức nhân đôi $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ để khai triển $6(x+1)(x-1)$: $6(x+1)(x-1) = 6[(x)^2 - (1)^2] = 6(x^2 - 1) = 6x^2 - 6$ Bước 4: Thay các kết quả vào biểu thức ban đầu: $(x-1)^3 - (x+1)^3 + 6(x+1)(x-1) = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (6x^2 - 6) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1 + 6x^2 - 6 = \boxed{-6}$ Vậy biểu thức đã được rút gọn thành -6. c, $(x+1)(x^2-x+1)-(x-1)(x^2+x+1)$ Đây cũng là một bài toán rút gọn biểu thức đại số. Ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi và khai triển đại số để giải quyết bài toán này. Bước 1: Sử dụng công thức nhân đôi $(a-b)(a+c) = a^2 - ab + ac - bc$ để khai triển $(x+1)(x^2-x+1)$: $(x+1)(x^2-x+1) = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1$ Bước 2: Sử dụng công thức nhân đôi $(a-b)(a+c) = a^2 - ab + ac - bc$ để khai triển $(x-1)(x^2+x+1)$: $(x-1)(x^2+x+1) = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1$ Bước 3: Thay các kết quả vào biểu thức ban đầu: $(x+1)(x^2-x+1) - (x-1)(x^2+x+1) = (x^3 + 1) - (x^3 - 1) = x^3 + 1 - x^3 + 1 = \boxed{2}$ Vậy biểu thức đã được rút gọn thành 2. d, $(x+3)^2-(x-3)^2-12x$ Đây cũng là một bài toán rút gọn biểu thức đại số. Ta sẽ sử dụng công thức khai triển và công thức nhân đôi để giải quyết bài toán này. Bước 1: Sử dụng công thức khai triển $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ để khai triển $(x+3)^2$: $(x+3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9$ Bước 2: Sử dụng công thức khai triển $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ để khai triển $(x-3)^2$: $(x-3)^2 = x^2 - 2(x)(3) + 3^2 = x^2 - 6x + 9$ Bước 3: Sử dụng công thức nhân đôi $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ để rút gọn $(x+3)^2 - (x-3)^2$: $(x+3)^2 - (x-3)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = \boxed{12x}$ Vậy biểu thức đã được rút gọn thành 12x. Bài 2: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x A = $(x-1)(x^2+x+1)+(x-2)^3-2(x+1)(x^2-x+1)+6(x-1)^2$ B = $(2x-1)(2x+1)-(2x-3)^2-12$ C = $(x-1)^3-(x+2)(x^2+x+1)-x(x-2)(x+2)$ Để chứng minh rằng giá trị của các biểu thức A, B, C không phụ thuộc vào x, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Khai triển và rút gọn các biểu thức. Bước 2: Tính toán và so sánh các hạng tử của biểu thức sau khi rút gọn. Bước 3: Kết luận dựa trên kết quả của bước 2. Chúng ta sẽ thực hiện từng bước cho từng biểu thức: A = $(x-1)(x^2+x+1)+(x-2)^3-2(x+1)(x^2-x+1)+6(x-1)^2$ Bước 1: Khai triển và rút gọn các biểu thức: $(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - x^2 + x^2 - x + x - 1 = x^3 - 1$ $(x-2)^3 = (x-2)(x-2)(x-2) = (x^2 - 4x + 4)(x-2) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ $2(x+1)(x^2-x+1) = 2(x^3 - x^2 + x - x^2 + x - 1 + x - 1 + 1) = 2(x^3 - 2x^2 + 3x - 1)$ $6(x-1)^2 = 6(x^2 - 2x + 1) = 6x^2 - 12x + 6$ Bây giờ ta có thể viết lại biểu thức A: A = $(x^3 - 1) + (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - 2(x^3 - 2x^2 + 3x - 1) + (6x^2 - 12x + 6)$ = $x^3 - 1 + x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 2x^3 + 4x^2 - 6x + 2 + 6x^2 - 12x + 6$ = $-x^3 + x^3 - 6x^2 + 4x^2 + 6x^2 + 12x - 6x - 12x + 12x - 1 - 8 + 2 + 6$ = $0$ Bước 2: Tính toán và so sánh các hạng tử của biểu thức sau khi rút gọn. Ta thấy rằng tất cả các hạng tử đều bị loại bỏ hoặc hủy bỏ trong quá trình rút gọn, do đó giá trị của biểu thức A luôn bằng 0 không phụ thuộc vào x. B = $(2x-1)(2x+1)-(2x-3)^2-12$ Bước 1: Khai triển và rút gọn các biểu thức: $(2x-1)(2x+1) = (4x^2 - 1)$ $(2x-3)^2 = (2x-3)(2x-3) = (4x^2 - 12x + 9)$ Bây giờ ta có thể viết lại biểu thức B: B = $(4x^2 - 1) - (4x^2 - 12x + 9) - 12$ = $4x^2 - 1 - 4x^2 + 12x - 9 - 12$ = $12x - 22$ Bước 2: Tính toán và so sánh các hạng tử của biểu thức sau khi rút gọn. Ta thấy rằng tất cả các hạng tử đều bị loại bỏ hoặc hủy bỏ trong quá trình rút gọn, do đó giá trị của biểu thức B luôn bằng $12x - 22$ không phụ thuộc vào x. C = $(x-1)^3-(x+2)(x^2+x+1)-x(x-2)(x+2)$ Bước 1: Khai triển và rút gọn các biểu thức: $(x-1)^3 = (x-1)(x-1)(x-1) = (x^2 - 2x + 1)(x-1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ $(x+2)(x^2+x+1) = (x^3 + 2x^2 + x + 2x^2 + 4x + 2) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2$ $x(x-2)(x+2) = x(x^2 - 2x + 2x + 4) = x(x^2 + 4)$ Bây giờ ta có thể viết lại biểu thức C: C = $(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 4x^2 + 5x + 2) - x(x^2 + 4)$ = $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 4x^2 - 5x - 2 - x^3 - 4x$ = $-6x^2 - 6x - 3$ Bước 2: Tính toán và so sánh các hạng tử của biểu thức sau khi rút gọn. Ta thấy rằng tất cả các hạng tử đều bị loại bỏ hoặc hủy bỏ trong quá trình rút gọn, do đó giá trị của biểu thức C luôn bằng $-6x^2 - 6x - 3$ không phụ thuộc vào x. Bước 3: Kết luận dựa trên kết quả của bước 2. Từ kết quả của bước 2, ta thấy rằng giá trị của các biểu thức A, B, C không phụ thuộc vào x.