Tính nguyên hàm giải chi tiết giúp ạ cảm ơn

1. Đây là bài toán tính nguyên hàm (integral) của các hàm số đã cho. Chúng ta cần tìm nguyên hàm của từng hàm số và giải chi tiết theo các bước sau: a) Tìm công thức nguyên hàm của mỗi hàm số. b) Áp dụng quy tắc tính nguyên hàm để tính nguyên hàm của từng hàm số. c) Kết hợp các kết quả để tìm nguyên hàm của biểu thức ban đầu. 2. Giải từng bài toán cụ thể: a) $f(x)=(\tan x - \cot x)^2$ Để tính nguyên hàm của hàm số này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc tính nguyên hàm của hàm số tổng hợp. Quy tắc: $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ Bước 1: Tính nguyên hàm của $(\tan x)^2$ và $(\cot x)^2$ riêng biệt. $\int (\tan x)^2 dx = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} dx$ Đặt $u = \cos x$, suy ra $du = -\sin x dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= -\int \frac{1-u^2}{u^2} du$ $= -\int \left(\frac{1}{u^2} - 1\right) du$ $= -\left(-\frac{1}{u} - u\right) + C_1$ $= \frac{1}{\cos x} + \cos x + C_1$ Tương tự, ta tính được: $\int (\cot x)^2 dx = \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} dx$ Đặt $v = \sin x$, suy ra $dv = \cos x dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= \int \frac{1-v^2}{v^2} dv$ $= \int \left(\frac{1}{v^2} - 1\right) dv$ $= -\frac{1}{v} - v + C_2$ $= -\frac{1}{\sin x} - \sin x + C_2$ Bước 2: Kết hợp kết quả từ bước 1 để tính nguyên hàm của $(\tan x - \cot x)^2$. $\int (\tan x - \cot x)^2 dx = \int (\tan^2 x - 2\tan x \cot x + \cot^2 x) dx$ $= \int (\tan^2 x) dx - 2\int (\tan x \cot x) dx + \int (\cot^2 x) dx$ $= \left(\frac{1}{\cos x} + \cos x\right) dx - 2\left(-\frac{1}{\sin x} - \sin x\right) dx + \left(-\frac{1}{\sin x} - \sin x\right) dx$ $= \frac{1}{\cos x} dx + \cos x dx + \frac{2}{\sin x} dx + 2\sin x dx - \frac{1}{\sin x} dx - \sin x dx + C$ $= \frac{1}{\cos x} + \cos x + \frac{2}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} - \sin x + C$ Vậy, nguyên hàm của $f(x)=(\tan x - \cot x)^2$ là $\frac{1}{\cos x} + \cos x + \frac{2}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} - \sin x + C$. b) $f(x)=4e^{2x-1}-3\cdot2^{1-5x}+7\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)$ Để tính nguyên hàm của hàm số này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc tính nguyên hàm của hàm số tổng hợp. Quy tắc: $\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$ Bước 1: Tính nguyên hàm của từng thành phần riêng biệt. $\int e^{2x-1} dx$ Đặt $u = 2x-1$, suy ra $du = 2dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= \frac{1}{2} \int e^u du$ $= \frac{1}{2} e^u + C_1$ $= \frac{1}{2} e^{2x-1} + C_1$ $\int 2^{1-5x} dx$ Đặt $v = 1-5x$, suy ra $dv = -5dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= -\frac{1}{5} \int 2^v dv$ $= -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln 2} 2^v + C_2$ $= -\frac{1}{5\ln 2} 2^{1-5x} + C_2$ $\int \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right) dx$ Đặt $w = \frac{\pi}{6}-x$, suy ra $dw = -dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= -\int \cos w dw$ $= -\sin w + C_3$ $= -\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right) + C_3$ Bước 2: Kết hợp kết quả từ bước 1 để tính nguyên hàm của $f(x)=4e^{2x-1}-3\cdot2^{1-5x}+7\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)$. $\int f(x) dx = \int (4e^{2x-1} - 3\cdot2^{1-5x} + 7\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)) dx$ $= 4\int e^{2x-1} dx - 3\int 2^{1-5x} dx + 7\int \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right) dx$ $= 4\left(\frac{1}{2} e^{2x-1}\right) - 3\left(-\frac{1}{5\ln 2} 2^{1-5x}\right) + 7\left(-\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\right) + C$ $= 2e^{2x-1} + \frac{3}{5\ln 2} 2^{1-5x} - 7\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right) + C$ Vậy, nguyên hàm của $f(x)=4e^{2x-1}-3\cdot2^{1-5x}+7\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)$ là $2e^{2x-1} + \frac{3}{5\ln 2} 2^{1-5x} - 7\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right) + C$. c) $f(x)=\frac{3^{x+2}-4^{x+3}}{5^{x+1}}$ Để tính nguyên hàm của hàm số này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc tính nguyên hàm của hàm số tổng hợp. Quy tắc: $\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$ Bước 1: Tính nguyên hàm của từng thành phần riêng biệt. $\int 3^{x+2} dx$ Đặt $u = x+2$, suy ra $du = dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= \int 3^u du$ $= \frac{1}{\ln 3} 3^u + C_1$ $= \frac{1}{\ln 3} 3^{x+2} + C_1$ $\int 4^{x+3} dx$ Đặt $v = x+3$, suy ra $dv = dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= \int 4^v dv$ $= \frac{1}{\ln 4} 4^v + C_2$ $= \frac{1}{\ln 4} 4^{x+3} + C_2$ $\int 5^{x+1} dx$ Đặt $w = x+1$, suy ra $dw = dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= \int 5^w dw$ $= \frac{1}{\ln 5} 5^w + C_3$ $= \frac{1}{\ln 5} 5^{x+1} + C_3$ Bước 2: Kết hợp kết quả từ bước 1 để tính nguyên hàm của $f(x)=\frac{3^{x+2}-4^{x+3}}{5^{x+1}}$. $\int f(x) dx = \int \left(\frac{3^{x+2}}{5^{x+1}} - \frac{4^{x+3}}{5^{x+1}}\right) dx$ $= \frac{1}{\ln 3} 3^{x+2} - \frac{1}{\ln 4} 4^{x+3} + \frac{1}{\ln 5} 5^{x+1} + C$ Vậy, nguyên hàm của $f(x)=\frac{3^{x+2}-4^{x+3}}{5^{x+1}}$ là $\frac{1}{\ln 3} 3^{x+2} - \frac{1}{\ln 4} 4^{x+3} + \frac{1}{\ln 5} 5^{x+1} + C$. d) $f(x)=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[4]{x^3}-1$ Để tính nguyên hàm của hàm số này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc tính nguyên hàm của hàm số tổng hợp. Quy tắc: $\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$ Bước 1: Tính nguyên hàm của từng thành phần riêng biệt. $\int \sqrt[3]{x^2} dx$ Đặt $u = x^2$, suy ra $du = 2x dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} du$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_1$ $= \frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C_1$ $= \frac{3}{8} (x^2)^{\frac{4}{3}} + C_1$ $= \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C_1$ $\int \sqrt[4]{x^3} dx$ Đặt $v = x^3$, suy ra $dv = 3x^2 dx$ Thay thế vào biểu thức trên: $= \frac{1}{3} \int v^{\frac{1}{4}} dv$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} v^{\frac{5}{4}} + C_2$ $= \frac{4}{15} v^{\frac{5}{4}} + C_2$ $= \frac{4}{15} (x^3)^{\frac{5}{4}} + C_2$ $= \frac{4}{15} x^{\frac{15}{4}} + C_2$ Bước 2: Kết hợp kết quả từ bước 1 để tính nguyên hàm của $f(x)=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[4]{x^3}-1$. $\int f(x) dx = \int \left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{x^3} - 1\right) dx$ $= \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + \frac{4}{15} x^{\frac{15}{4}} - x + C$ Vậy, nguyên hàm của $f(x)=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[4]{x^3}-1$ là $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + \frac{4}{15} x^{\frac{15}{4}} - x + C$.