Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD (Â= D=90°) có CD = 2AB. Kẻ DH 1 AC (H ∈ AC). Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của CD, AN và BD cắt nhau tại O. a) Tử giác ABND là hình gì? b) Chứng minh OD....

1. Đây là một bài toán hình học trong đó chúng ta cần chứng minh các quan hệ giữa các đoạn thẳng và góc trong hình thang vuông ABCD. a) Để xác định loại hình tứ giác ABND, chúng ta cần kiểm tra các góc và cạnh của nó. Vì ABND là tứ giác trong hình thang vuông ABCD, ta có: - Góc ABD = 90° (góc vuông) - Góc BDA = 180° - góc ABD (tổng các góc trong tam giác BDA) - Góc BDA = góc BDN + góc NDA (tổng các góc trong tam giác BDN) - Góc BDN = góc BDA - góc NDA - Góc BDN = (180° - góc ABD) - góc NDA - Góc BDN = 180° - góc ABD - góc NDA Vì góc ABD và góc NDA đều là góc vuông, nên góc BDN cũng là góc vuông. Do đó, tứ giác ABND là một hình chữ nhật. b) Để chứng minh OD . DC = DB . DN, chúng ta sẽ sử dụng các định lý về tỷ lệ đồng dạng của các tam giác. - Ta có: CD = 2AB (theo đề bài) - Vì M là trung điểm của HC, nên ta có: HM = MC - Vì N là trung điểm của CD, nên ta có: DN = NC Áp dụng định lý tỷ lệ đồng dạng vào tam giác BDN và tam giác BOC, ta có: \(\frac{{OD}}{{DB}} = \frac{{NC}}{{DN}}\) (1) Áp dụng định lý tỷ lệ đồng dạng vào tam giác BDC và tam giác BDA, ta có: \(\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\) (2) Từ (1) và (2), ta có: \(\frac{{OD}}{{DB}} = \frac{{NC}}{{DN}} = \frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{2AB}}{{BC}}\) Do đó, OD . DC = DB . DN. c) Để chứng minh BMD = 90°, chúng ta sẽ sử dụng các định lý về góc nội tiếp và góc ngoại tiếp. - Vì ABND là một hình chữ nhật, nên góc BDN = 90°. - Gọi góc BMD là x. Vì góc BDN = 90°, nên góc BMD + góc BDN = 180° (tổng các góc trong tam giác BMD). - Ta có: góc BMD + 90° = 180° - góc BMD = 90° Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng góc BMD = 90°.