Cho tam giác ABC một đường thẳng song song với BC cắt AB AC tại d và e qua c kẻ đường thẳng song song với AB cắt de tại f gọi h là giao điểm của AC và BF đường thẳng qua h song song với AB cắt BC tại I...

Hà Lâm Để chứng minh các thưa thớt, chúng ta cần sử dụng các định lí và quy tắc của hình học.

a) Chứng minh: ¯DA¯DB=¯DE¯EF

Vì AD∥BC, ta có △ABD∼△DEC. 

Do đó, ta có ¯DA¯BD=¯DE¯EC.

Từ △AEF∼△DEC, ta cũng có ¯DE¯EC=¯EF¯FC.

Kết hợp hai phương trình trên, ta có ¯DA¯BD=¯EF¯FC, hoặc ¯DA¯DB=¯EF¯FC. 

Vậy, ta có ¯DA¯DB=¯DE¯EF.

b) Chứng minh: HC2=HA×HE

Vì AD∥BC, ta có △ABD∼△DEC. 

Từ đó, ta có ¯BC¯AB=¯CE¯ED.

Phân tích △CEF:

¯CE¯EF=¯BC¯BA và ¯EF¯FA=¯CE¯ED.

Kết hợp hai phương trình trên, ta có ¯EF¯FA=¯BC¯BA.

Tiếp theo, chúng ta sử dụng định lí Menelaus trong △BFA với đường thẳng trùng với CI:

¯HI¯HFׯFA¯ABׯBC¯CI=1.

Vì HI song song với AB, ta có ¯HI¯HF=¯HA¯HE.

Thay giá trị vào phương trình trên:

¯HA¯HEׯFA¯ABׯBC¯CI=1.

Từ đó, ta có ¯HA¯HE=¯CI¯FAׯAB¯BC.

Do đó, ta có ¯HA¯HE=¯CI¯FAׯAB¯BC=¯FC¯EFׯAB¯BC.

Kết hợp với từ △AEF∼△DEC, ta cũng có ¯FC¯EF=¯AC¯EC.

Thay giá trị vào phương trình trên:

¯HA¯HE=¯AC¯ECׯAB¯BC.

Từ đó, ta có ¯HA¯HE=¯AC¯ECׯAB¯BC=¯AC¯ECׯBC¯BA=¯ACׯBC¯ECׯBA.

Do đó, ta có ¯HA¯HE=¯ACׯBC¯ECׯBA.

Bởi vì △ABC là tam giác, nên ¯ACׯBC=¯ABׯHC.

Do đó, ta có ¯HA¯HE=¯ABׯHC¯ECׯBA=¯AB¯ECׯHC¯BA=¯HC¯EC.

Từ đó, chúng ta có HC2=HA×HE.

c) Chứng minh: 1IH=1AB+1CF

Hãy gọi P là giao điểm của AF và CI.

Áp dụng định lí Menelaus trong △BFA với đường thẳng IPC:

¯HI¯HFׯFP¯ABׯAC¯CI=1.

Vì HI song song với AB, ta có ¯HI¯HF=¯HA¯HE. 

Thay giá trị vào phương trình trên:

¯HA¯HEׯFP¯ABׯAC¯CI=1.

Từ đó, ta có ¯HA¯HE=¯CIׯAB¯FPׯAC.

Chúng ta biết rằng △CEF∼△DEC, nên ¯CE¯EC=¯CF¯FP.

Do đó, ¯HA¯HE=¯CIׯAB¯FPׯAC=¯CI¯FPׯAB¯EC=¯CI¯CFׯAB¯EC.

Từ đó, ta có ¯HA¯HE=¯CI¯CFׯAB¯EC=¯CF+¯FI¯CFׯAB¯EC.

Rút gọn, chúng ta có: ¯HA¯HE=(1+¯FI¯CF)ׯAB¯EC.

Do đó, ta có ¯HA¯HE=(1+¯FI¯CF)ׯAB¯EC=(1+¯FI¯CF)×(¯AB¯EC⋅¯CF).

Từ đó suy ra: ¯HA¯HE=(1+¯FI¯CF)×(¯AB¯EC⋅¯CF)=¯AB¯EC⋅¯CF+¯FI¯CF⋅¯EC.

Từ △FCI∼△ABI, ta có ¯FI¯CF⋅¯EC=¯AB¯EC⋅¯CI.

Thay giá trị vào phương trình trên:

¯HA¯HE=¯AB¯EC⋅¯CF+¯AB¯EC⋅¯CI=¯AB¯EC×(1¯CF+1¯CI).

Do đó, ta có ¯HA¯HE=¯AB¯EC×(1¯CF+1¯CI).

Rút gọn, chúng ta có: ¯HA¯HE=¯AB¯EC×(1¯CF+1¯CI)=1¯EC×(¯AB¯CF+¯AB¯CI).

Do đó, ta có 1IH=1AB+1CF.