Giúp mik với mik cảm oi Bài 3 (3,0 điểm). Cho $\Delta ABC$ vuông tại A. Kẻ trung tuyến AM . Gọọi H là trung điểm của AA .,Trên tia đối của tia M lấy điểm N sao cho $HN=HM,$,a) Chứng minh tứ giác AMBN là hình thoi.,b) Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB , đường thẳng này cắt các đường thẳng,NB, N lầnn ưưt tại K và D Chứng minh $BK=AM$ và tứ giác ABKD là hình thang cân.,c) Gọi E và I lần lượt là giao điểm của AK với HM và BM. Chứng minh,$MH.AE=MN.EI$

Question

Giúp mik với mik cảm oi Bài 3 (3,0 điểm).  Cho $\Delta ABC$ vuông tại A. Kẻ trung tuyến AM . Gọọi H là trung điểm của AA .,Trên tia đối của tia  M  lấy điểm  N sao cho $HN=HM,$,a) Chứng minh tứ giác  AMBN là hình thoi.,b) Qua điểm  M kẻ đường thẳng song song với  AB , đường thẳng này cắt các đường thẳng,NB, N lầnn ưưt  tại  K và  D   Chứng minh $BK=AM$ và tứ giác  ABKD là hình thang cân.,c) Gọi E và I lần lượt là giao điểm của AK với HM và BM. Chứng minh,$MH.AE=MN.EI$

Accepted Answer

a, $\displaystyle \vartriangle ABC$ có: H,M lần lượt là trung điểm của AB,AC
$\displaystyle \Longrightarrow $HM là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle ABC$
$\displaystyle \Longrightarrow HM\parallel AC$
Lại có: $\displaystyle AB\bot AC$
Do đó $\displaystyle HM\bot AB$
Xét tứ giác AMBN có: AB và MN cắt nhau tại H là trung điểm mỗi đường
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác AMBN là hình bình hành
Lại có: $\displaystyle MN\bot AB$
Do đó tứ giác AMBN là hình thoi

b, Vì $\displaystyle \begin{cases}
MN\bot AB & \
KD\parallel AB &
\end{cases}$nên $\displaystyle MN\bot KD$
Vì AMBN là hình thoi nên $\displaystyle \begin{cases}
BM=BN & \
AM=AN &
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
\vartriangle BMN\ cân\ tại\ B & \
\vartriangle ANM\ cân\ tại\ A &
\end{cases}$
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
\widehat{BNM} =\widehat{BMN} & \
\widehat{ANM} =\widehat{AMN} &
\end{cases}$
Ta có: $\displaystyle \begin{cases}
\widehat{BMN} +\widehat{BMK} =90^{0} & \
\widehat{BNM} +\widehat{BKM} =90^{0} & \
\widehat{BNM} =\widehat{BMN} &
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{BMK} =\widehat{BKM}$ (1)
Vì AMBN là hình thoi nên $\displaystyle BM\parallel AN\Longrightarrow \widehat{BMK} =\widehat{ADM}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\displaystyle \widehat{BKM} =\widehat{ADM} \Longrightarrow \widehat{BKD} =\widehat{ADK}$
Xét tứ giác ABKD có: $\displaystyle AB\parallel KD$
Do đó tứ giác ABKD là hình thang
Lại có: $\displaystyle \widehat{BKD} =\widehat{ADK}$
Do đó tứ giác ABKD là hình thang cân