giải hệ phương trình

Bước 1: Xác định loại bài toán và nêu ý tưởng chính và các bước logic để giải quyết vấn đề. Đây là một bài toán giải hệ phương trình tuyến tính hai biến. Ý tưởng chính để giải quyết vấn đề này là sử dụng phương pháp định rõ để loại bỏ một biến trong mỗi phương trình, sau đó giải phương trình tuyến tính một biến để tìm giá trị của biến còn lại. Cuối cùng, chúng ta sẽ thay giá trị đã tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem nó có thỏa mãn hay không. Bước 2: Giải quyết từng bước một. Phương trình hệ số hóa: $\left\{\begin{array}l\frac1{x-2}+\frac2{y-3}=7\\\frac{-2}{x-2}+\frac3{y-3}=1\end{array}\right.$ Bước 1: Nhân cả hai phương trình với $(x-2)(y-3)$ để loại bỏ mẫu số. $\left\{\begin{array}l(y-3)+2(x-2)=7(x-2)(y-3)\\-2(x-2)+3(y-3)=(x-2)(y-3)\end{array}\right.$ Bước 2: Mở ngoặc và rút gọn biểu thức. $\left\{\begin{array}l y-3+2x-4=7xy-21x-14y+42\\-2x+4+3y-9=xy-2x-3y+6\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}l y+2x-7xy+14y=7x-39\\-2x+3y-xy+2x+3y=9\end{array}\right.$ Bước 3: Gom các thành phần tương tự lại với nhau. $\left\{\begin{array}l -7xy+14y+2x+y=7x-39\\-xy+3y-2x+2x+3y=9\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}l -7xy+15y+2x=7x-39\\2y-xy=9\end{array}\right.$ Bước 4: Giải phương trình tuyến tính một biến. Từ phương trình thứ hai, ta có: $2y-xy=9$ $y(2-x)=9$ $y=\frac{9}{2-x}$ Bước 5: Thay giá trị của $y$ vào phương trình thứ nhất để tìm giá trị của $x$. $-7x\left(\frac{9}{2-x}\right)+15\left(\frac{9}{2-x}\right)+2x=7x-39$ $-\frac{63x}{2-x}+\frac{135}{2-x}+2x=7x-39$ $-\frac{63x+135}{2-x}+2x=7x-39$ $-\frac{63x+135}{2-x}=-5x-39$ $63x+135=(2-x)(5x+39)$ $63x+135=-5x^2-39x+78+5x$ $-5x^2+24x+57=0$ Bước 6: Giải phương trình bậc hai. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Với $a=-5$, $b=24$, và $c=57$, ta tính được: $x=\frac{-24\pm\sqrt{24^2-4(-5)(57)}}{2(-5)}$ $x=\frac{-24\pm\sqrt{576+1140}}{-10}$ $x=\frac{-24\pm\sqrt{1716}}{-10}$ $x=\frac{-24\pm\sqrt{429}}{-10}$ Bước 7: Tính toán giá trị của $x$. Ta có hai giá trị của $x$: $x_1=\frac{-24+\sqrt{429}}{-10}$ $x_2=\frac{-24-\sqrt{429}}{-10}$ Bước 8: Tính toán giá trị của $y$. Thay giá trị của $x$ vào phương trình $y=\frac{9}{2-x}$, ta có: $y_1=\frac{9}{2-\left(\frac{-24+\sqrt{429}}{-10}\right)}$ $y_2=\frac{9}{2-\left(\frac{-24-\sqrt{429}}{-10}\right)}$ Bước 9: Kiểm tra giá trị tìm được. Thay giá trị của $x$ và $y$ vào phương trình ban đầu để kiểm tra: $\left\{\begin{array}l\frac1{x-2}+\frac2{y-3}=7\\\frac{-2}{x-2}+\frac3{y-3}=1\end{array}\right.$ Nếu cả hai phương trình đều thỏa mãn, ta đã tìm được nghiệm của hệ phương trình.