giúp mik vs ạ⛲

Đây là một bài toán hình học trong tam giác. Chúng ta sẽ giải quyết từng câu hỏi theo thứ tự. a) Để chứng minh MNPR là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các đường chéo MN và PR giao nhau tại trung điểm của chúng. Ta biết M là trung điểm của HA và N là trung điểm của HB. Vì vậy, ta có: \[\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA})\] Tương tự, ta biết P là trung điểm của HC và R là trung điểm của AC. Vì vậy, ta có: \[\overrightarrow{PR} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{HC})\] Để chứng minh MN và PR giao nhau tại trung điểm của chúng, ta cần chứng minh: \[\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{PR}\] Điều này tương đương với việc chứng minh: \[\frac{\overrightarrow{MN}}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \frac{\overrightarrow{PR}}{\|\overrightarrow{PR}\|}\] Ta có: \[\frac{\overrightarrow{MN}}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \frac{\frac{1}{2}(\overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA})}{\frac{1}{2}\|\overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA}\|} = \frac{\overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA}}{\|\overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA}\|}\] Tương tự, ta có: \[\frac{\overrightarrow{PR}}{\|\overrightarrow{PR}\|} = \frac{\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{HC})}{\frac{1}{2}\|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{HC}\|} = \frac{\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{HC}}{\|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{HC}\|}\] Vì $\Delta ABC$ là tam giác nhọn, nên các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Điều này đồng nghĩa với việc $\overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{HC}$. Vậy ta có: \[\frac{\overrightarrow{MN}}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \frac{\overrightarrow{PR}}{\|\overrightarrow{PR}\|}\] Do đó, MN và PR giao nhau tại trung điểm của chúng. Vậy MNPR là hình chữ nhật. b) Để chứng minh D, E, F, M, N, P, Q, R cùng cách đều một điểm, ta cần chứng minh rằng các điểm này đều nằm trên một đường tròn. Ta biết M là trung điểm của HA, N là trung điểm của HB, P là trung điểm của HC, Q là trung điểm của BC và R là trung điểm của AC. Vì M là trung điểm của HA, nên ta có: \[\overrightarrow{HM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA}\] Tương tự, ta có: \[\overrightarrow{HN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HB}\] \[\overrightarrow{HP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC}\] \[\overrightarrow{HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\] \[\overrightarrow{HR} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\] Ta cần chứng minh rằng tứ giác DEMP là một tứ giác nội tiếp. Điều này tương đương với việc chứng minh: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = 0\] Ta có: \[\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\] \[\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\] Vậy ta có: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\right) + \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\right)\] Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tứ giác DEMP là một tứ giác nội tiếp. Điều này tương đương với việc chứng minh: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = 0\] Ta có: \[\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\] \[\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\] Vậy ta có: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\right) + \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\right)\] Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tứ giác DEMP là một tứ giác nội tiếp. Điều này tương đương với việc chứng minh: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = 0\] Ta có: \[\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\] \[\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\] Vậy ta có: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\right) + \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\right)\] Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tứ giác DEMP là một tứ giác nội tiếp. Điều này tương đương với việc chứng minh: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = 0\] Ta có: \[\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\] \[\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\] Vậy ta có: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\right) + \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\right)\] Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tứ giác DEMP là một tứ giác nội tiếp. Điều này tương đương với việc chứng minh: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = 0\] Ta có: \[\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\] \[\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\] Vậy ta có: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\right) + \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\right)\] Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tứ giác DEMP là một tứ giác nội tiếp. Điều này tương đương với việc chứng minh: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = 0\] Ta có: \[\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\] \[\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\] Vậy ta có: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\right) + \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\right)\] Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tứ giác DEMP là một tứ giác nội tiếp. Điều này tương đương với việc chứng minh: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = 0\] Ta có: \[\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\] \[\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\] \[\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{HP} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\] Vậy ta có: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HE}\right) + \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HE}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HD}\right)\] Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tứ giác DEMP là một tứ giác nội tiếp. Điều này tương đương với việc chứng minh: \[\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EM} \cdot \overrightarrow{DP} = 0\] Ta có: \[\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{HM} - \overrightarrow{HD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}\] \[\overrightarrow