Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD), gọi M là trung điểm cạnh AB. Từ M kẻ MN vuông góc với CD tại N( N thuộc CD) a, Chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật b, Trên tia DM lấy điểm K sao cho M là trung điểm...

a, Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\displaystyle \begin{cases}
AB\parallel CD & \\
AB=CD & \\
\widehat{BAD} =90^{0} & 
\end{cases}$
Vì M là trung điểm của AB nên $\displaystyle AM=MB=\frac{1}{2} AB$
Vì N là trung điểm của CD nên $\displaystyle DN=NC=\frac{1}{2} CD$
Do đó $\displaystyle AM=MB=DN=NC$
Xét tứ giác AMND có: $\displaystyle \begin{cases}
AM=DN & \\
AM\parallel DN & 
\end{cases}$
Do đó AMND là hình bình hành
Lại có: $\displaystyle \widehat{DAM} =90^{0}$
Do đó tứ giác AMND là hình chữ nhật
b, Xét tứ giác ADBK có: AB và DK cắt nhau tại M là trung điểm mối đường
Do đó tứ giác ADBK là hình bình hành 
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
AD=BK\ ( 1) & \\
AD\parallel BK\ ( 2) & 
\end{cases}$
Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\displaystyle \begin{cases}
AD=BC\ ( 3) & \\
AD\parallel BC\ ( 4) & \\
AB\bot BC & 
\end{cases}$
Từ (2) và (4) có: $\displaystyle B,K,C$ thẳng hàng
Từ (1) và (3) có: $\displaystyle BK=BC$
Xét $\displaystyle \vartriangle AKC$ có: AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle AKC$ cân tại A

c, Vì IE là phân giác của $\displaystyle \widehat{AIM} \ $nên $\displaystyle \frac{EM}{EA} =\frac{IM}{IA}$
Vì IF là phân giác của $\displaystyle \widehat{KIM}$ nên $\displaystyle \frac{FM}{FK} =\frac{IM}{IK}$
Vì I là trung điểm của AK nên $\displaystyle IA=IK$
Do đó $\displaystyle \frac{EM}{EA} =\frac{FM}{FK} \Longrightarrow EF\parallel AK$ (định  lí Talet đảo)
Vì ADBK là hình bình hành nên $\displaystyle AK\parallel BD$
Do đó $\displaystyle EF\parallel BD$