Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB cố định .Qua A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nữa đường tròn (O). Từ một điểm M tuỳ ý trên nữa đường tròn (M khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ ba với nữa đường...

a, Vì Ax, HM là các đường tiếp tuyến của (O) nên $\displaystyle \begin{cases}
\widehat{OAH} =90^{0} & \\
\widehat{OMH} =90^{0} & 
\end{cases}$
$\displaystyle \Longrightarrow A,M$ cùng thuộc đường tròn đường kính OH
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác AHMO nội tiếp
b, Vì HA, HM là các tiếp tuyến của (O) nên HA=HM
Vì KM, KC là các tiếp tuyến của (O) nên KM=KB
Khi đó ta có: $\displaystyle AH+BK=HM+MK=HK$

c, Ta có: M thuộc đường tròn đường kính AB 
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AMB} =90^{0}$
Ta có: $\displaystyle \begin{cases}
HM=HA & \\
MO=OA & 
\end{cases} \Longrightarrow $OH là đường trung trực của AM
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{MOH} =\widehat{AOH}$
Vì KM, KB là tiếp tuyến của (O) nên $\displaystyle KM=KB$
Lại có: $\displaystyle OM=OB$
Do đó OK là đường trung trực của BM
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
OK\bot BM\ ( 1) & \\
\widehat{MOK} =\widehat{BOK} & 
\end{cases}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{AOH} +\widehat{HOM} +\widehat{MOK} +\widehat{KOB} =180^{0}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow 2(\widehat{HOM} +\widehat{MOK}) =180^{0}\\
\Longrightarrow \widehat{HOK} =90^{0}
\end{array}$
$\displaystyle \Longrightarrow OH\bot OK$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\displaystyle OH\parallel MB\Longrightarrow \widehat{AOH} =\widehat{ABM} \Longrightarrow \widehat{HOM} =\widehat{ABM}$
Xét $\displaystyle \vartriangle OMH$ vuông tại M và $\displaystyle \vartriangle AMB$ vuông tại M có: 
$\displaystyle \widehat{HOM} =\widehat{ABM}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle OMH\backsim \vartriangle BMA$
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{HO}{AB} =\frac{OM}{MB} \Longrightarrow HO.MB=AB.OM=2R.R=2R^{2}$

d, Chu vi tứ giác AHKB là: $\displaystyle AB+AH+BK+HK=2R+2HK$
Tứ giác AHKB có chu vi nhỏ nhất khi HK nhỏ nhất
Lấy $\displaystyle N\in ( O)$ sao cho $\displaystyle ON\bot AB$. Từ N kẻ đường thẳng vuông góc với ON cắt Ax, By lần lượt tại D,C
$\displaystyle \Longrightarrow DC\parallel AB$
Ta cố: Ax, By là các tiếp tuyến của (O) n
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow Ax\bot AB,\ By\bot AB\\
\Longrightarrow Ax\parallel By
\end{array}$
Tứ giác ABCD có: $\displaystyle \begin{cases}
AB\parallel CD & \\
AD\parallel BC & 
\end{cases}$
Do đó ABCD là hình bình hành
Lại có: $\displaystyle \widehat{DAB} =90^{0}$
Do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật 
$\displaystyle \Longrightarrow DC=AB=R$
Ta có: $\displaystyle HK\geqslant CD=R$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle M\equiv N$