Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB cố định .Qua A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nữa đường tròn (O). Từ một điểm M tuỳ ý trên nữa đường tròn (M khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ ba với nữa đường...

Namcaychayhocngu

a) Để chứng minh tứ giác AHMO nội tiếp, ta sử dụng tính chất của các góc nội tiếp trong đường tròn.

Gọi G là giao điểm của Ax và By. Khi đó, ta có:

1. Góc AGB (góc ở trung điểm của nửa đường tròn) là góc vuông (90 độ).

2. Góc AHB (góc ở trung điểm của nửa đường tròn) cũng là góc vuông.

Vậy tứ giác AHGB là tứ giác nội tiếp trong đường tròn nửa đường tròn (O).

Tiếp theo, vì MH và MO là tiếp tuyến nên ta có:

3. Góc AMO = Góc AHB (cùng bằng góc vuông).

Từ đây, ta suy ra tứ giác AHMO là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có AH = AG và BK = BG (đều là tiếp tuyến từ điểm A và B đến nửa đường tròn), nên AH + BK = AG + BG = AB.

Từ đề bài, ta biết AB là đường kính của nửa đường tròn, nên AH + BK = R (bán kính của nửa đường tròn).

c) Từ b) ta biết AH + BK = R. Do tứ giác AHMO là tứ giác nội tiếp, nên theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:

Nhưng AO là bán kính của nửa đường tròn, nên $$, và $$. Do đó:

Từ đây suy ra $$ (vì theo đề bài $$ là bán kính của nửa đường tròn).

d) Để xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác AHKB có chu vi nhỏ nhất, ta cần xem xét tỉ lệ giữa chu vi của tứ giác và cạnh AB.

Gọi x là đoạn AH (hoặc KB). Khi đó, BK = AB - AH = R - x. 

Chu vi của tứ giác AHKB là:

Nhưng theo đề bài, tứ giác AHKB là tứ giác nội tiếp, nên theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:

Vậy chu vi của tứ giác là:

Để P đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $$. Qua quá trình tính toán và đạo hàm, ta có thể chứng minh rằng $$ là giá trị của x làm cho $$ đạt giá trị nhỏ nhất.