helpppppp meeeee

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân bằng phép đổi biến số. Đầu tiên, ta xét câu 1: Câu 1: Cho $I=\int^2_0\frac{dx}{3x+1}=\frac1alnb.$ Tính $P=a^2+b.$ Để tính $I$, ta sử dụng phép đổi biến số $u=3x+1$. Khi đó, $du=3dx$ và $dx=\frac{du}{3}$. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: $I=\int^2_0\frac{dx}{3x+1}=\int^{u=7}_{u=1}\frac{\frac{du}{3}}{u}=\frac13\int^{u=7}_{u=1}\frac{du}{u}=\frac13\ln|u|\Big|^{u=7}_{u=1}=\frac13\ln\left|\frac73\right|=\frac1alnb$ Từ đó, ta suy ra $a=3$ và $b=\frac73$. Vậy, $P=a^2+b=3^2+\frac73=9+\frac73=16$. Vậy đáp án cho câu 1 là B. 16. Tiếp theo, ta xét câu 2: Câu 2: Cho $I=\int^2_1\frac{x-1}{x+3}dx=1+4ln\frac ab$ với $\frac ab$ là phân số tối giản. Tính $P=2a+b.$ Để tính $I$, ta sử dụng phép đổi biến số $u=x+3$. Khi đó, $du=dx$ và $x=u-3$. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: $I=\int^2_1\frac{x-1}{x+3}dx=\int^{u=5}_{u=4}\frac{u-4}{u}du=\int^{u=5}_{u=4}\left(1-\frac{4}{u}\right)du=\left[u-\ln|u|\right]\Big|^{u=5}_{u=4}=5-\ln|5|-4+\ln|4|=1+\ln\left|\frac54\right|$ Từ đó, ta suy ra $\frac ab=\frac54$. Để tìm $a$ và $b$, ta phân tích $\frac ab$ thành phân số tối giản: $\frac ab=\frac54=\frac{5}{4}$. Vậy, $a=5$ và $b=4$. Vậy, $P=2a+b=2(5)+4=10+4=14$. Vậy đáp án cho câu 2 là A. 14. Tiếp theo, ta xét câu 3: Câu 3: Cho $I=\int^3_0\frac{-x+8}{x^2+5x+4}dx=3lna-4ln\frac ba$ với $\frac ba$ là phân số tối giản. Tính $P=(\frac ba)^2.$ Để tính $I$, ta sử dụng phép đổi biến số $u=x^2+5x+4$. Khi đó, $du=(2x+5)dx$ và $x=\frac{-5\pm\sqrt{u-4}}{2}$. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: $I=\int^3_0\frac{-x+8}{x^2+5x+4}dx=\int^{u=28}_{u=4}\frac{\frac{-5+\sqrt{u-4}}{2}+8}{u}\frac{du}{2\sqrt{u-4}}=\int^{u=28}_{u=4}\frac{-5+\sqrt{u-4}+16\sqrt{u-4}}{2u}du$ $=\int^{u=28}_{u=4}\left(\frac{-5}{2u}+\frac{\sqrt{u-4}}{2u}+\frac{8\sqrt{u-4}}{2u}\right)du=\left[-\frac52\ln|u|+\frac12\ln|u-4|+4\ln|u-4|\right]\Big|^{u=28}_{u=4}$ $=-\frac52\ln|28|+\frac12\ln|28-4|+4\ln|28-4|+\frac52\ln|4|-\frac12\ln|4-4|-4\ln|4-4|$ $=-\frac52\ln28+\frac12\ln24+4\ln24+\frac52\ln4=3\ln24-\frac52\ln28+\frac52\ln4$ Từ đó, ta suy ra $a=24$ và $\frac ba=\frac{28}{4}=7$. Để tìm $b$, ta phân tích $\frac ba$ thành phân số tối giản: $\frac ba=\frac{28}{4}=7$. Vậy, $b=4$. Vậy, $P=(\frac ba)^2=(\frac74)^2=\frac{49}{16}$. Vậy đáp án cho câu 3 là C. $\frac{49}{16}$. Tiếp theo, ta xét câu 4: Câu 4: Cho $I=\int^2_1\frac{dx}{4x^2-4x+1}=\frac1a+\frac1b.$ Khi đó a và b là nghiệm của phương trình nào sau đây ? Để tính $I$, ta sử dụng phép đổi biến số $u=2x-1$. Khi đó, $du=2dx$ và $x=\frac{u+1}{2}$. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: $I=\int^2_1\frac{dx}{4x^2-4x+1}=\int^{u=3}_{u=1}\frac{\frac{du}{2}}{4\left(\frac{u+1}{2}\right)^2-4\left(\frac{u+1}{2}\right)+1}=\int^{u=3}_{u=1}\frac{du}{u^2}=\int^{u=3}_{u=1}\frac{du}{u^2}=1-\frac12=\frac12$ Từ đó, ta suy ra $\frac1a+\frac1b=\frac12$. Để tìm a và b, ta giải phương trình $\frac1a+\frac1b=\frac12$. Ta có: $\frac1a+\frac1b=\frac12 \Rightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac12 \Rightarrow 2(a+b)=ab$ Phân tích phương trình trên, ta thấy cặp số (a, b) thỏa mãn là (2, 2). Vậy, a=2 và b=2. Vậy đáp án cho câu 4 là không có đáp án. Tiếp theo, ta xét câu 5: Câu 5: Cho $I=\int^1_0\frac{xdx}{4-x^2}=\frac12ln\frac ab.$ Tính $P=a^2-b.$ Để tính $I$, ta sử dụng phép đổi biến số $u=4-x^2$. Khi đó, $du=-2xdx$ và $x=\sqrt{4-u}$. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: $I=\int^1_0\frac{xdx}{4-x^2}=\int^{u=3}_{u=0}\frac{\sqrt{4-u}}{u}\left(-\frac{du}{2}\right)=\int^{u=3}_{u=0}\frac{\sqrt{4-u}}{2u}du$ Để tính tích phân này, ta sử dụng phép đổi biến số $v=\sqrt{4-u}$. Khi đó, $dv=-\frac{du}{2\sqrt{4-u}}$ và $u=4-v^2$. Thay thế vào biểu thức trên, ta có: $I=\int^{u=3}_{u=0}\frac{\sqrt{4-u}}{2u}du=\int^{v=1}_{v=2}\frac{v}{2(4-v^2)}\left(-\frac{2dv}{2\sqrt{4-v^2}}\right)=\int^{v=1}_{v=2}\frac{-v}{4-v^2}dv$ $=\int^{v=1}_{v=2}\left(\frac{-v}{2(v-2)}+\frac{-v}{2(v+2)}\right)dv=\left[-\frac12\ln|v-2|-\frac12\ln|v+2|\right]\Big|^{v=1}_{v=2}$ $=-\frac12\ln|-1|-\frac12\ln|3|+\frac12\ln|2-2|+\frac12\ln|2+2|=-\frac12\ln3$ Từ đó, ta suy ra $\frac ab=\frac13$. Để tìm a và b, ta phân tích $\frac ab$ thành phân số tối giản: $\frac ab=\frac13$. Vậy, $a=1$ và $b=3$. Vậy, $P=a^2-b=1^2-3=-2$. Vậy đáp án cho câu 5 là C. -2. Tiếp theo, ta xét câu 6: Câu 6: Cho $I=\int^2_0\frac{x^2}{x+1}dx=a+lnb.$ Mệnh đề nào đúng ? Để tính $I$, ta sử dụng phép chia đa thức. Chia $x^2$ cho $x+1$, ta có: $x^2=x(x+1)-x$ Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: $I=\int^2_0\frac{x^2}{x+1}dx=\int^2_0\left(\frac{x(x+1)-x}{x+1}\right)dx=\int^2_0\left(x-\frac{x}{x+1}\right)dx$ $=\int^2_0xdx-\int^2_0\frac{x}{x+1}dx=\frac12x^2\Big|^2_0-\int^2_0\frac{x}{x+1}dx=2-\int^2_0\frac{x}{x+1}dx$ Để tính tích phân $\int^2_0\frac{x}{x+1}dx$, ta sử dụng phép đổi biến số $u=x+1$. Khi đó, $du=dx$ và $x=u-1$. Thay thế vào biểu thức trên, ta có: $\int^2_0\frac{x}{x+1}dx=\int^{u=3}_{u=1}\frac{u-1}{u}du=\int^{u=3}_{u=1}\left(1-\frac{1}{u}\right)du=\left[u-\ln|u|\right]\Big|^{u=3}_{u=1}=3-\ln|3|-1+\ln|1|=2-\ln3$ Từ đó, ta suy ra: $I=2-\int^2_0\frac{x}{x+1}dx=2-(2-\ln3)=\ln3$ Vậy, mệnh đề đúng là $a+lnb=\ln3$, tức là mệnh đề B. 2a+b=5. Tiếp theo, ta xét câu 7: Câu 7: Cho tích phân $I=\int^e_1\frac{lnx+e^{lnx}}xdx=e^a-b,$ giá trị của $a+2b$ bằng: Để tính $I$, ta sử dụng phép đổi biến số $u=lnx$. Khi đó, $du=\frac{dx}{x}$ và $x=e^u$. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: $I=\int^e_1\frac{lnx+e^{lnx}}xdx=\int^{u=1}_{u=0}\frac{u+e^u}{e^u}e^udu=\int^{u=1}_{u=0}(u+e^u)du