Tìm các giá trị thực. Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của A sao cho hai đường tròn $x^2+y^2=4$ và $x^2+y^2-4\lambda x+9=0$ cắt nhau,tại hai điểm phân biệt.

Question

Accepted Answer

Câu 11: Để tìm tất cả các giá trị thực của $ \lambda $ sao cho hai đường tròn $ x^2 + y^2 = 4 $ và $ x^2 + y^2 - 4\lambda x + 9 = 0 $ cắt nhau tại hai điểm phân biệt, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình đường tròn - Đường tròn thứ nhất có phương trình: $$ x^2 + y^2 = 4 $$ Đây là đường tròn có tâm $ O_1(0, 0) $ và bán kính $ R_1 = 2 $. - Đường tròn thứ hai có phương trình: $$ x^2 + y^2 - 4\lambda x + 9 = 0 $$ Ta có thể viết lại dưới dạng: $$ (x - 2\lambda)^2 + y^2 = 4\lambda^2 - 9 $$ Đây là đường tròn có tâm $ O_2(2\lambda, 0) $ và bán kính $ R_2 = \sqrt{4\lambda^2 - 9} $. Bước 2: Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi khoảng cách giữa hai tâm nhỏ hơn tổng bán kính và lớn hơn hiệu bán kính. Cụ thể: 1. Khoảng cách giữa hai tâm: $$ d = |2\lambda - 0| = 2|\lambda| $$ 2. Tổng bán kính: $$ R_1 + R_2 = 2 + \sqrt{4\lambda^2 - 9} $$ 3. Hiệu bán kính: $$ |R_1 - R_2| = |2 - \sqrt{4\lambda^2 - 9}| $$ Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt là: $$ |2\lambda| < 2 + \sqrt{4\lambda^2 - 9} $$ và $$ |2\lambda| > |2 - \sqrt{4\lambda^2 - 9}| $$ Bước 3: Giải bất phương trình Điều kiện 1: $ |2\lambda| < 2 + \sqrt{4\lambda^2 - 9} $ - Điều kiện xác định: $ 4\lambda^2 - 9 > 0 \Rightarrow \lambda^2 > \frac{9}{4} \Rightarrow |\lambda| > \frac{3}{2} $. - Xét $ 2\lambda < 2 + \sqrt{4\lambda^2 - 9} $: $$ 2\lambda - 2 < \sqrt{4\lambda^2 - 9} $$ Bình phương hai vế: $$ (2\lambda - 2)^2 < 4\lambda^2 - 9 $$ $$ 4\lambda^2 - 8\lambda + 4 < 4\lambda^2 - 9 $$ $$ -8\lambda + 4 < -9 $$ $$ -8\lambda < -13 $$ $$ \lambda > \frac{13}{8} $$ - Xét $ -2\lambda < 2 + \sqrt{4\lambda^2 - 9} $: $$ -2\lambda - 2 < \sqrt{4\lambda^2 - 9} $$ Bình phương hai vế: $$ (-2\lambda - 2)^2 < 4\lambda^2 - 9 $$ $$ 4\lambda^2 + 8\lambda + 4 < 4\lambda^2 - 9 $$ $$ 8\lambda + 4 < -9 $$ $$ 8\lambda < -13 $$ $$ \lambda < -\frac{13}{8} $$ Điều kiện 2: $ |2\lambda| > |2 - \sqrt{4\lambda^2 - 9}| $ - Xét $ 2\lambda > 2 - \sqrt{4\lambda^2 - 9} $: $$ 2\lambda - 2 > -\sqrt{4\lambda^2 - 9} $$ Bình phương hai vế: $$ (2\lambda - 2)^2 > 4\lambda^2 - 9 $$ $$ 4\lambda^2 - 8\lambda + 4 > 4\lambda^2 - 9 $$ $$ -8\lambda + 4 > -9 $$ $$ -8\lambda > -13 $$ $$ \lambda < \frac{13}{8} $$ - Xét $ -2\lambda > 2 - \sqrt{4\lambda^2 - 9} $: $$ -2\lambda - 2 > -\sqrt{4\lambda^2 - 9} $$ Bình phương hai vế: $$ (-2\lambda - 2)^2 > 4\lambda^2 - 9 $$ $$ 4\lambda^2 + 8\lambda + 4 > 4\lambda^2 - 9 $$ $$ 8\lambda + 4 > -9 $$ $$ 8\lambda > -13 $$ $$ \lambda > -\frac{13}{8} $$ Bước 4: Kết luận Kết hợp các điều kiện trên, ta có: - $ \lambda > \frac{13}{8} $ hoặc $ \lambda < -\frac{13}{8} $. Vậy, các giá trị thực của $ \lambda $ để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt là $ \lambda > \frac{13}{8} $ hoặc $ \lambda < -\frac{13}{8} $.