Chọn nhận định đúng.

Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra tính chất của các hàm số \( f(x) \) và \( g(x) \) và sau đó xác định tính chất của hàm hợp \( g \circ f \). Hàm số \( f(x) \) được định nghĩa như sau: \[ f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{nếu } x < 0 \\ \ln x & \text{nếu } x > 0 \end{cases} \] Hàm số \( g(x) \) được định nghĩa như sau: \[ g(x) = \begin{cases} e^x & \text{nếu } x < 0 \\ x & \text{nếu } x > 0 \end{cases} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tìm hàm hợp \( g \circ f \): \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \] Trường hợp 1: \( x < 0 \) \[ f(x) = e^{-x} \] \[ g(f(x)) = g(e^{-x}) \] Vì \( e^{-x} > 0 \) nên: \[ g(e^{-x}) = e^{e^{-x}} \] Do đó: \[ (g \circ f)(x) = e^{e^{-x}} \quad \text{với } x < 0 \] Trường hợp 2: \( x > 0 \) \[ f(x) = \ln x \] \[ g(f(x)) = g(\ln x) \] Vì \( \ln x \) có thể âm hoặc dương, chúng ta cần xét thêm: - Nếu \( \ln x < 0 \) (tức là \( x < 1 \)): \[ g(\ln x) = e^{\ln x} = x \] - Nếu \( \ln x > 0 \) (tức là \( x > 1 \)): \[ g(\ln x) = \ln x \] Tóm lại, hàm hợp \( g \circ f \) có dạng: \[ (g \circ f)(x) = \begin{cases} e^{e^{-x}} & \text{nếu } x < 0 \\ x & \text{nếu } 0 < x < 1 \\ \ln x & \text{nếu } x > 1 \end{cases} \] Bây giờ, chúng ta kiểm tra tính chất của \( g \circ f \): 1. Tính đơn ánh (Injective): - Với \( x < 0 \), \( e^{e^{-x}} \) là hàm tăng nghiêm ngặt. - Với \( 0 < x < 1 \), \( x \) là hàm đồng biến. - Với \( x > 1 \), \( \ln x \) là hàm tăng nghiêm ngặt. Do đó, \( g \circ f \) là hàm đơn ánh trên mỗi khoảng riêng lẻ. 2. Tính toàn ánh (Surjective): - Với \( x < 0 \), \( e^{e^{-x}} \) có miền giá trị là \( (1, \infty) \). - Với \( 0 < x < 1 \), \( x \) có miền giá trị là \( (0, 1) \). - Với \( x > 1 \), \( \ln x \) có miền giá trị là \( (0, \infty) \). Kết hợp lại, miền giá trị của \( g \circ f \) là \( (0, \infty) \cup (1, \infty) \), tức là \( (0, \infty) \). Do đó, \( g \circ f \) là toàn ánh. Vậy, đáp án đúng là: C. \( g \circ f \) là toàn ánh và đơn ánh.