Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao BD, CE, AK cắt nhau tại H . Kẻ đường kính cắt AM; AH cắt (O) tại N a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Chứ...

a, Vì B,C thuộc đường tròn đường kính AM
Nên $\displaystyle \widehat{ACM} =\widehat{ABM} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
CM\bot AC & \\
BM\bot AB & 
\end{cases}$
Lại có: $\displaystyle \begin{cases}
BH\bot AC & \\
CH\bot AB & 
\end{cases}$
Do đó $\displaystyle \begin{cases}
BH\parallel CM & \\
CH\parallel BM & 
\end{cases}$
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác BHCM là hình bình hành

b, Ta có: $\displaystyle \widehat{ABC}$ và $\displaystyle \widehat{AMC}$ là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ABC} =\widehat{AMC} \Longrightarrow \widehat{ABK} =\widehat{AMC}$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABK$ vuông tại K và $\displaystyle \vartriangle AMC$ vuông tại C có: 
$\displaystyle \widehat{ABK} =\widehat{AMC}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle ABK\backsim \vartriangle AMC$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BAK} =\widehat{MAC} \Longrightarrow \widehat{BAN} =\widehat{MAC}$
$\displaystyle \Longrightarrow BN=MC$
c, Ta có: $\displaystyle \widehat{NBC}$ và $\displaystyle \widehat{NAC}$ là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{NBC} =\widehat{NAC} \Longrightarrow \widehat{NBK} =\widehat{HAD}$
Ta có: $\displaystyle \begin{cases}
\widehat{HAD} +\widehat{AHD} =90^{0} & \\
\widehat{HBK} +\widehat{BHK} =90^{0} & \\
\widehat{AHD} =\widehat{BHK} & 
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{HAD} =\widehat{HBK}$
Do đó $\displaystyle \widehat{NBK} =\widehat{HBK} \Longrightarrow BK$ là phân giác của $\displaystyle \widehat{NBH}$
Mà $\displaystyle BK\bot HN$
Do đó $\displaystyle \vartriangle BHN$ cân tại B

Ta có: $\displaystyle BH\parallel CM\Longrightarrow \widehat{HBK} =\widehat{BCM}$
Lại có: $\displaystyle \widehat{NBK} =\widehat{HBK}$
Do đó $\displaystyle \widehat{NBK} =\widehat{BCM} \Longrightarrow \widehat{CBN} =\widehat{BCM}$
Vì N thuộc đường tròn đường kính AM nên $\displaystyle \widehat{ANM} =90^{0} \Longrightarrow MN\bot AH$
Lại có: $\displaystyle MN\bot AH$
Do đó $\displaystyle MN\parallel BC$
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác BCMN là hình thang
Lại có: $\displaystyle \widehat{CBN} =\widehat{BCM}$
Do đó tứ giác BCMN là hình thang cân

d, Gọi G là giao điểm của AO và DE
Ta có: $\displaystyle \widehat{BEC} =\widehat{BDC} \Longrightarrow E,D$ thuộc đường tròn đường kính BC
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ADG} =\widehat{ABK}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{ABK} =\widehat{AMC}$
Do đó $\displaystyle \widehat{ADG} =\widehat{AMC}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{MAC} +\widehat{AMC} =90^{0}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \widehat{GAD} +\widehat{ADG} =90^{0}\\
\Longrightarrow \widehat{AGD} =90^{0}\\
\Longrightarrow OA\bot DE
\end{array}$