Câu 3. Cho a, b và c là các số thực sao thỏa mãn abc= 1 và a+b+c=ab+bc+ca=6 Tính giá trị của biểu thức P=a^3+b^3+c^3

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đại số. Đầu tiên, chúng ta có các điều kiện sau: \[ \begin{align*} abc &= 1 \quad \text{(1)} \\ a+b+c &= ab+bc+ca = 6 \quad \text{(2)} \end{align*} \] Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức \(P = a^3 + b^3 + c^3\). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số công thức đại số. Trước hết, chúng ta sẽ tìm giá trị của \(ab+bc+ca\) bằng cách sử dụng công thức Viète: \[ ab+bc+ca = \frac{(a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2)}{2} \] Với \(a+b+c = 6\), ta có: \[ ab+bc+ca = \frac{6^2 - (a^2+b^2+c^2)}{2} = \frac{36 - (a^2+b^2+c^2)}{2} \] Do đó, ta có: \[ \frac{36 - (a^2+b^2+c^2)}{2} = 6 \] Từ đó, ta có: \[ a^2+b^2+c^2 = 36 - 12 = 24 \quad \text{(3)} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị của \(a^3+b^3+c^3\). Chúng ta biết rằng: \[ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3 - (ab^2+bc^2+ca^2) \] Với \(a+b+c = 6\) và \(a^2+b^2+c^2 = 24\) từ các phương trình (2) và (3), ta có: \[ 6 \cdot (24 - 6) = a^3+b^3+c^3 - (ab^2+bc^2+ca^2) \] Simplifying this equation, we get: \[ a^3+b^3+c^3 = 138 - (ab^2+bc^2+ca^2) \quad \text{(4)} \] Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị của \(ab^2+bc^2+ca^2\). Ta biết rằng: \[ (ab+bc+ca)(a+b+c) = ab^2+bc^2+ca^2 + abc(a+b+c) \] Với \(ab+bc+ca = 6\) và \(a+b+c = 6\) từ các phương trình (2), ta có: \[ 6 \cdot 6 = ab^2+bc^2+ca^2 + 6 \] Simplifying this equation, we get: \[ ab^2+bc^2+ca^2 = 30 \quad \text{(5)} \] Bây giờ, chúng ta có đủ thông tin để tính giá trị của \(P = a^3+b^3+c^3\). Thay các giá trị từ các phương trình (4) và (5) vào, ta có: \[ P = 138 - 30 = 108 \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) là 108.