* cho x,y tm x+y+xy=3 tìm GTNN của P = 1/(x+y) + 1/x + 1/y

Question

vuongtuantu · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{1}{x+y} +\frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{x+y+xy}{3( x+y)} +\frac{x+y}{xy} =\frac{1}{3} +\frac{xy}{3( x+y)} +\frac{xy}{( x+y)}\
Cô-si\
\Longrightarrow \frac{xy}{3( x+y)} +\frac{x+y}{xy} \geqslant 2\sqrt{\frac{xy}{3( x+y)} .\frac{x+y}{xy}} =\frac{2\sqrt{3}}{3}\
\Longrightarrow P\geqslant \frac{1}{3} +\frac{2\sqrt{3}}{3}\
\end{array}$

Timi · Answer

Đây là một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức dựa trên điều kiện cho trước. Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán này, sau đó sử dụng các phương pháp tối ưu hóa để giải quyết nó.

Bắt đầu với việc biến đổi biểu thức $P$:

$$P = \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}.$$

Chúng ta có thể viết lại nó như sau:

$$P = \frac{x}{x(x+y)} + \frac{y}{y(x+y)} + \frac{x+y}{xy}.$$

Sau khi rút gọn, ta được:

$$P = \frac{1}{x+y} + \frac{1}{xy}.$$

Tiếp theo, từ điều kiện ban đầu $x+y+xy=3$, ta có thể biến đổi thành $xy+x+y-3=0$.

Đặt $z=xy$, ta có hệ phương trình mới:

\begin{align*}
z+x+y &= 3 \
z &= xy
\end{align*}

Giải hệ phương trình này, ta thu được: $x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ và $y=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ với $\Delta=b^2-4ac$.

Thay vào biểu thức P, ta thu được:

$$P = \frac{1}{x+y} + \frac{1}{z}.$$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $P$, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số này. Điều này có thể được thực hiện bằng cách lấy đạo hàm theo $x$, $y$ và $z$ và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Tuy nhiên, với bài toán này, việc tính toán sẽ khá phức tạp. Vì vậy, chúng ta cần tìm một phương pháp tiếp cận khác để giải quyết bài toán.

Tài khoản ẩn danh · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1/(x+y) + 1/x + 1/y, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x và y sao cho x + y + xy = 3. Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp đặt tương đương. Gọi t = x + y, ta có: t + xy = 3 (1) Giờ, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1/(x+y) + 1/x + 1/y. Ta có thể viết lại P theo biến t: P = 1/t + 1/x + 1/y Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-HM (bất đẳng thức trung bình - nghịch đảo trung bình): P >= 3/(t + x + y) Với điều kiện t + x + y = 3 (theo phương trình (1)), ta có: P >= 3/3 = 1 Do đó, giá trị nhỏ nhất của P là 1.