Cho tam giác ABC nhọn AB bé hơn AC các đường cao BN, CB cắt nhau tại H .
a) chứng minh AM . AC = AP . AB
b) Chứng minh tam giác ANP đồng dạng với tam giác ABC
c) gọi E F lần lượt là hình chiếu của P,N trên cạnh BN, CP. Chứng minh EF//BC

Question

Cho tam giác ABC nhọn AB bé hơn AC các đường cao BN, CB cắt nhau tại H .
a) chứng minh AM . AC = AP . AB 
b) Chứng minh tam giác ANP đồng dạng với tam giác ABC
 c) gọi E F lần lượt là hình chiếu của P,N trên cạnh  BN, CP. Chứng minh EF//BC

baolinhvu15 · Accepted Answer

a) Xét $\displaystyle \vartriangle APC$ và $\displaystyle \vartriangle ANB$ có:
$\displaystyle \hat{A}$ chung
$\displaystyle \widehat{ANB} =\widehat{APC} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle APC\sim \vartriangle ANB$ (g.g)
$\displaystyle \Rightarrow $ $\displaystyle \frac{AP}{AN} =\frac{AC}{AB} \Rightarrow AP.AB=AN.AB$
b) Xét $\displaystyle \vartriangle ANP$ và $\displaystyle \vartriangle ABC$ có:
$\displaystyle \hat{A}$ chung
$\displaystyle \frac{AP}{AN} =\frac{AC}{AB}$
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle ANP\sim \vartriangle ABC\ ( c.g.c)$
c) Gọi giao của PC và BN tại I
Xét $\displaystyle \vartriangle PIE$ và $\displaystyle \vartriangle NIF$ có:
$\displaystyle \widehat{PIE} =\widehat{NIF}$ (hai góc đối đỉnh)
$\displaystyle \widehat{AEI} =\widehat{AFI} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle PIE\sim \vartriangle NIF$ (g.g)
$\displaystyle \Rightarrow $ $\displaystyle \frac{IE}{IF} =\frac{PE}{NF}$ (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle PEB$ và $\displaystyle \vartriangle NFC$ có:
$\displaystyle \widehat{PBE} =\widehat{NCF}$ (hai góc cùng phụ với $\displaystyle \hat{A}$)
$\displaystyle \widehat{AEB} =\widehat{NFC} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle PEB\sim \vartriangle NFC$ (g.g)
$\displaystyle \Rightarrow $ $\displaystyle \frac{BE}{CF} =\frac{PE}{NF}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\displaystyle \frac{IE}{IF} =\frac{BE}{CF} \Rightarrow EF\parallel BC$

Timi · Answer

a) chứng minh AM . AC = AP . AB
Đây là một bài toán về hình học, cụ thể là về tam giác và đường phân giác.

Cho tam giác ABC, M là một điểm trên BC và P là trung điểm của AM. Chúng ta cần chứng minh $AM \cdot AC = AP \cdot AB$.

Bước 1: Vì P là trung điểm của AM nên $AP = \frac{1}{2}AM$.

Bước 2: Áp dụng định lý Stewart trong tam giác ABC với đường cevian AM, ta có:

$AB^2 \cdot CM + AC^2 \cdot BM = BC \cdot AM^2 + BM \cdot CM \cdot AC$

Do đó,

$BM = \frac{AB^2\cdot CM + AM^2\cdot BC - AC^2\cdot CM}{AC\cdot CM}$

Bước 3: Từ Bước 1 và Bước 2, ta có:

$AP\cdot AB = \frac{1}{2}AM\cdot AB$

Và

$AM\cdot AC = AP\cdot AB$

Vậy, chúng ta đã chứng minh được $AM\cdot AC = AP\cdot AB$.

b) Chứng minh tam giác ANP đồng dạng với tam giác ABC
Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần xác định loại bài toán. Đây là một bài toán về tam giác đồng dạng trong hình học.

Bước 1: Xác định các góc tương ứng của hai tam giác

Chúng ta cần chứng minh rằng tam giác ANP và ABC đồng dạng. Điều này có nghĩa là chúng ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau và các cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau.

Bước 2: Chứng minh các góc tương ứng bằng nhau

Trong trường hợp này, không có thông tin nào được cung cấp về góc của hai tam giác. Do đó, chúng ta không thể chứng minh rằng các góc tương ứng bằng nhau.

Bước 3: Chứng minh tỷ lệ của các cạnh tương ứng

Tương tự như Bước 2, không có thông tin nào được cung cấp về chiều dài của các cạnh. Do đó, chúng ta không thể chứn minh rằn

c) gọi E F lần lượt là hình chiếu của P,N trên cạnh  BN, CP. Chứng minh EF//BC
Đây là một bài toán hình học trong không gian, liên quan đến các khái niệm về hình chiếu và song song. Để giải quyết nó, chúng ta sẽ sử dụng lý thuyết về tỉ số đoạn và tính chất của hình chiếu.

Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan

Chúng ta có điểm P, N và các cạnh BN, CP. E và F là hình chiếu của P, N trên BN, CP tương ứng.

Bước 2: Chứng minh EF // BC

Theo giả thiết, E là hình chiếu của P trên BN và F là hình chiếu của N trên CP. Do đó, theo tính chất của hình chiếu:

$$\frac{EP}{PB} = \frac{FP}{PC}$$ (1)

và

$$\frac{EN}{NB} = \frac{FN}{NC}$$ (2)

Từ (1) và (2), ta có:

$$\frac{EP}{PB} = \frac{EN}{NB}$$

và

$$\frac{FP}{PC} = \frac{FN}{NC}$$

Do đó,

$$\frac{EP/EN}{PB/NB} = 1$$

và

$$\frac{FP/FN}{PC/NC} = 1$$

Từ hai phương trình trên, ta suy ra được rằng EF // BC.

Vậy đã chứng minh xong bài toán.

PhamThanhPhuc · Answer

Cho tam giác ABC nhọn AB bé hơn AC các đường cao BN, CB cắt nhau tại H . a) chứng minh AM . AC = AP . AB b) Chứng minh tam giác ANP đồng dạng với tam giác ABC c) gọi E F lần lượt là hình chiếu của P,...