Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH .Gọi M là trung điểm của AC. Kẻ AK vuông góc với BM (K thuộc BM). Chứng minh : BK.BM = BH.BC.

Đây là một bài toán về tam giác vuông và đường cao trong hình học không gian. Để giải quyết nó, chúng ta sẽ sử dụng các định lý cơ bản của hình học như định lý Pythagoras và các tính chất của tam giác vuông. Bước 1: Xác định các thông tin đã biết - Tam giác ABC vuông tại A - M là trung điểm của AC - AK ⊥ BM Bước 2: Chứng minh BK.BM = BH.BC Chúng ta có thể chia bài toán này thành hai phần nhỏ để chứng minh: Phần 1: Chứng minh tam giác ABK ~ tam giác CBM (tương đồng) Do M là trung điểm của AC nên AM = MC = $\frac{1}{2}$AC. Vì AK ⊥ BM nên theo định lý Pythagoras, ta có: BK² = BM² - MK² = BC² - MC² = BC² - ($\frac{1}{2}$AC)² = BC² - $\frac{1}{4}$AC² = $\frac{3}{4}$BC². Vì vậy, BK = $\sqrt{\frac{3}{4}}$BC = $\frac{\sqrt{3}}{2}$BC. Tương tự, ta cũng có BA = $\sqrt{\frac{3}{4}}$AB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AB. Vì vậy, $\frac{BK}{BA}$ = $\frac{BC}{AB}$. Vì AK ⊥ BM và AB ⊥ BC nên ∠BAK = ∠BCB. Do đó, tam giác ABK ~ tam giác CBM (theo nguyên lý tương đồng tam giác). Phần 2: Sử dụng tính chất của các tam giác tương đồng để chứng minh BK.BM = BH.BC Do tam giác ABK ~ tam giác CBM nên ta có: $\frac{BK}{CB}$ = $\frac{BM}{AB}$ => BK.BM = BH.BC (vì BH=AB và BM=CB) Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng BK.BM = BH.BC.