Cho tam giác DEF vuông tại D có DE = 9cm, EF = 15cm. Kẻ đường cao DH và phân giác DK (H, K thuộc EF). a) Chứng minh tam giác HED đồng dạng tam giác DEF. b) Tính độ dài các đoạn thẳng DH. c) Tính tỉ số...

a) Để chứng minh tam giác HED đồng dạng tam giác DEF, ta cần chứng minh hai góc của hai tam giác này bằng nhau. Gọi góc EDF là $\angle EDF$ và góc EDH là $\angle EDH$. Vì tam giác DEF vuông tại D, nên $\angle EDF = 90^\circ$. Ta biết rằng DH là đường cao của tam giác DEF, nên DH vuông góc với EF. Do đó, $\angle EDH = 90^\circ$. Vậy ta có: $\angle EDF = \angle EDH$, từ đó suy ra tam giác HED đồng dạng tam giác DEF. b) Để tính độ dài các đoạn thẳng DH, ta sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: \begin{align*} DH^2 &= DE^2 - EH^2 \\ &= 9^2 - (EF - FH)^2 \\ &= 9^2 - (15 - FH)^2 \end{align*} Vì ta đã biết FH là phân giác của EF, nên $FH = \frac{EF}{2} = \frac{15}{2}$. Thay vào công thức trên, ta có: \begin{align*} DH^2 &= 9^2 - \left(15 - \frac{15}{2}\right)^2 \\ &= 81 - \left(\frac{15}{2}\right)^2 \\ &= 81 - \frac{225}{4} \\ &= \frac{324 - 225}{4} \\ &= \frac{99}{4} \end{align*} Vậy độ dài của DH là: \begin{align*} DH &= \sqrt{\frac{99}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{99}}{\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{9 \times 11}}{2} \\ &= \frac{3\sqrt{11}}{2} \\ &\approx 12.0 \end{align*} Do đó, độ dài của DH là khoảng 12.0 cm. c) Để tính tỉ số diện tích của tam giác DEK và tam giác DKF, ta sử dụng công thức: Tỉ số diện tích = $\frac{{Diện~tích~tam~giác~DEK}}{{Diện~tích~tam~giác~DKF}}$ Để tính diện tích các tam giác này, ta sử dụng công thức diện tích tam giác: Diện tích tam giác = $\frac{{1}}{{2}} \times cạnh_1 \times cạnh_2 \times sin(góc)$ Trong trường hợp này, ta có: - Diện tích tam giác DEK: $S_{DEK} = \frac{{1}}{{2}} \times DE \times EK \times sin(\angle DEK)$ - Diện tích tam giác DKF: $S_{DKF} = \frac{{1}}{{2}} \times DK \times FK \times sin(\angle DKF)$ Vì K là điểm phân giác của EF, nên ta có $EK = FK = \frac{{EF}}{{2}} = \frac{{15}}{{2}}$. Đồng thời, vì tam giác DEF vuông tại D, nên $\angle DEK + \angle DKF = 90^\circ$. Từ đó suy ra $\angle DEK = 90^\circ - \angle DKF$. Thay các giá trị vào công thức diện tích tam giác, ta có: \begin{align*} S_{DEK} &= \frac{{1}}{{2}} \times 9 \times \frac{{15}}{{2}} \times sin(\angle DEK) \\ S_{DKF} &= \frac{{1}}{{2}} \times DH \times \frac{{15}}{{2}} \times sin(\angle DKF) \end{align*} Vậy tỉ số diện tích của tam giác DEK và tam giác DKF là: \begin{align*} Tỉ~số~diện~tích &= \frac{{S_{DEK}}}{{S_{DKF}}} \\ &= \frac{{\frac{{1}}{{2}} \times 9 \times \frac{{15}}{{2}} \times sin(90^\circ - \angle DKF)}}{{\frac{{1}}{{2}} \times DH \times \frac{{15}}{{2}} sin(\angle DKF)}} \\ &= 0.6 \end{align*} Vậy tỉ số diện tích của tam giác DEK và tam giác DKF là 0.6.