Cho tam giác ABC nhọn, có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H . Cho BAC = 45o. Chứng minh diện tích AEF = diện tích BFEC.

Để chứng minh diện tích AEF = diện tích BFEC, ta sẽ sử dụng công thức diện tích tam giác và định lý Euclid. Đầu tiên, ta cần tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC. Vì BAC = 45°, ta có thể suy ra được một số thông tin về tam giác ABC. Với BAC = 45°, ta có thể kết luận rằng tam giác ABC là một tam giác vuông tại A. Do đó, ta có: \[\angle BCA = 90° - \angle BAC = 90° - 45° = 45°.\] Vì BE là đường cao của tam giác ABC, nên ta có: \[\angle BEC = \angle BAC = 45°.\] Tương tự, vì CF là đường cao của tam giác ABC, nên ta có: \[\angle CFB = \angle BCA = 45°.\] Do đó, ta có hai góc trong tam giác EFC bằng nhau (\(\angle ECF\) và \(\angle FCB\) cùng bằng \(45^\circ\)), từ đó suy ra EF=FC. Tiếp theo, để tính diện tích của hai hình AEF và BFEC, ta cần biết chiều cao từ điểm E và F xuống BC. Gọi h1 là chiều cao từ E xuống BC và h2 là chiều cao từ F xuống BC. Áp dụng định lý Euclid, ta có: \[\frac{h1}{h2} = \frac{EF}{FC} = 1.\] Vì EF=FC, nên h1=h2. Do đó, diện tích của hai hình AEF và BFEC bằng nhau. Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng diện tích AEF = diện tích BFEC.