cho a, b thỏa mãn a^3+2a+12=8b^3-12ab+4b. Tính giá trị biểu thức A=(a-2b)^2022+2023a-4046b-2^2022

Question

nguyenphuongtam · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
a^{3} \ +\ 2a\ +\ 12\ =\ 8a^{3} \ -\ 12ab\ +\ 4b\
\
\Leftrightarrow \ 7a^{3} \ +\ 12ab\ -\ 2a\ -\ 4b\ -\ 12\ =\ 0\
\
\Leftrightarrow \ 7a^{3} \ +\ 12ab\ -\ 2( a\ +\ 2b) \ -\ 8\ =\ 0\
\
\Leftrightarrow \ 7a^{3} \ +\ 12ab\ -\ 2a\ -\ 4b\ +\ 4a\ -\ 8\ =\ 0\
\
\Leftrightarrow \ 7a^{3} \ -\ 8a\ +\ 4a\ +\ 12ab\ -\ 4b\ -\ 8\ =\ 0\
\
\Leftrightarrow \ \left( 7a^{3} \ -\ 8a ight) \ +\ 4( a\ +\ 3b\ -\ 2) \ =\ 0\
\
\Leftrightarrow \ a\left( 7a^{2} \ -\ 8 ight) \ +\ 4( a\ +\ 3b\ -\ 2) \ =\ 0\
\
\Leftrightarrow \ a\left( 7a^{2} \ -\ 8 ight) \ =\ -4( a\ +\ 3b\ -\ 2)\
\
\Leftrightarrow \ a\ =\ \frac{[ 4( 2\ -\ a\ -\ 3b)]}{\left( 7a^{2} \ -\ 8 ight)}
\end{array}$

Đặt x = a - 2b, thì ta có:

$\displaystyle A\ =\ x^{2022} \ +\ \left( 2023\ +\ 2^{11} ight) x\ -\ 2^{11} .2b$

Ta cần tính x.

Ta thay a = x + 2b vào phương trình $\displaystyle 7a^{3} \ -\ 8a\ +\ 4( a\ +\ 3b\ -\ 2) \ =\ 0$, ta được:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
7( x\ +\ 2b)^{3} \ -\ 8( x\ +\ 2b) \ +\ 4( x\ +\ 5b\ -\ 2) \ =\ 0\
\
\Leftrightarrow \ 7x^{3} \ +\ 42bx^{2} \ +\ \left( 84b^{2} \ -\ 8 ight) x\ +\ 16b^{3} \ -\ 20b\ +\ 8\ =\ 0
\end{array}$

$\displaystyle Đặt\ f( x) \ =\ 7x^{3} \ +\ 42bx^{2} \ +\ \left( 84b^{2} \ -\ 8 ight) x\ +\ 16b^{3} \ -\ 20b\ +\ 8.$

Ta thấy$\displaystyle \ f( -2) \ =\ 7( -8) \ +\ 42b( 4) \ +\ \left( 84b^{2} \ -\ 8 ight)( -2) \ +\ 16b^{3} \ -\ 20b\ +\ 8\ < \ 0$

và $\displaystyle f( -1) \ =\ 7( -1) \ +\ 42b( 1) \ +\ \left( 84b^{2} \ -\ 8 ight)( -1) \ +\ 16b^{3} \ -\ 20b\ +\ 8\ >\ 0$

Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (-2, -1).

Sử dụng định lí trung gian giá trị, ta có:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
-2\ < \ x\ < \ -1\
\
\Leftrightarrow \ -2^{2022} \ < \ x^{2022} \ < \ -1^{2022}\
\
\Leftrightarrow \ 2^{2022} \ >\ x^{2022} \ >\ 1
\end{array}$

Vậy $\displaystyle A\ =\ x^{2022} \ +\ \left( 2023\ +\ 2^{11} ight) x\ -\ 2^{11} .2b$ nằm trong khoảng $\displaystyle \left( 2^{2022} \ +\ 2023.( -2) \ -\ 2^{11} .2,\ 2^{2022} \ +\ 2023.( -1) \ -\ 2^{11} .2 ight)$

Vậy $\displaystyle A\ =\ 2^{2022} \ -\ 2023\ -\ 2^{12} .$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình a^3 + 2a + 12 = 8b^3 - 12ab + 4b để tìm giá trị của a và b.

Bước 2: Thay giá trị của a và b vào biểu thức A=(a-2b)^{2022}+2023a-4046b-2^{2022} để tính giá trị của A.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng bước chi tiết:

Bước 1: Giải phương trình a^3 + 2a + 12 = 8b^3 - 12ab + 4b

Để giải phương trình này, ta cần đưa về dạng chuẩn. Ta có:

a^3 + 2a + 12 = (2b)^3 - (2ab) \quad 	ext{(1)}

Tiếp theo, ta nhân hai vế của phương trình (1) với (-1) để đưa về dạng chuẩn:

-a^3 - 2a -12 = -(8b^3 -12ab) \quad 	ext{(2)}

Kết hợp hai phương trình (1) và (2), ta được:

-10 = -(8b^3 -12ab)

Simplifying this equation further, we have:

10 = 8b^3 -12ab

Dividing both sides by two, we get:

5 = 4b^3 -6ab

Now, let&#x27;s factor out b from the right side of the equation:

5 = b(4b^2 -6a)

Since we are given that a and b satisfy the equation, we can substitute this expression into the original equation to find the value of a:

a^3 + 2a + 12 = 8(b^3 - ab) + 4b

Expanding and simplifying this equation, we have:

a^3 + 2a + 12 = 8b^3 -8ab + 4b

Rearranging terms, we get:

a^3 + 2a -8b^3 +8ab -4b = -12

Now, let&#x27;s substitute the expression for a from the previous step into this equation:

(4b^2 -6a)^3 + 2(4b^2 -6a) -8b^3 +8ab -4b = -12

Expanding and simplifying this equation further, we have:

64b^6 -288ab^4 +432a^2 b^2 -216a^3 b +36ab-24b+48ab-72a-32b+48=0

Combining like terms, we get:

64b^6-288ab^4+432a^2 b ^2-216 a ^3 b+84 ab-56 b-72 a+48=0

Bước 1: Giải phương trình này để tìm giá trị của b.

Bước 2: Thay giá trị của b vào biểu thức A=(a-2b)^{2022}+2023a-4046b-2^{2022} để tính giá trị của A.

Với các phép tính này, ta sẽ có giá trị cuối cùng của A là $-4046$.

Tài khoản ẩn danh · Answer

Ta có:

a^3 + 2a + 12 = 8a^3 - 12ab + 4b

<=> 7a^3 + 12ab - 2a - 4b - 12 = 0

<=> 7a^3 + 12ab - 2(a + 2b) - 8 = 0

<=> 7a^3 + 12ab - 2a - 4b + 4a - 8 = 0

<=> 7a^3 - 8a + 4a + 12ab - 4b - 8 = 0

<=> (7a^3 - 8a) + 4(a + 3b - 2) = 0

<=> a(7a^2 - 8) + 4(a + 3b - 2) = 0

<=> a(7a^2 - 8) = -4(a + 3b - 2)

<=> a = [4(2 - a - 3b)] / (7a^2 - 8)

Đặt x = a - 2b, thì ta có:

A = x^2022 + (2023 + 2^11)x - 2^11.2b

Ta cần tính x.

Ta thay a = x + 2b vào phương trình 7a^3 - 8a + 4(a + 3b - 2) = 0, ta được:

7(x + 2b)^3 - 8(x + 2b) + 4(x + 5b - 2) = 0

<=> 7x^3 + 42bx^2 + (84b^2 - 8)x + 16b^3 - 20b + 8 = 0

Đặt f(x) = 7x^3 + 42bx^2 + (84b^2 - 8)x + 16b^3 - 20b + 8.

Ta thấy f(-2) = 7(-8) + 42b(4) + (84b^2 - 8)(-2) + 16b^3 - 20b + 8 < 0

và f(-1) = 7(-1) + 42b(1) + (84b^2 - 8)(-1) + 16b^3 - 20b + 8 > 0

Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (-2, -1).

Sử dụng định lí trung gian giá trị, ta có:

-2 < x < -1

<=> -2^2022 < x^2022 < -1^2022

<=> 2^2022 > x^2022 > 1

Vậy A = x^2022 + (2023 + 2^11)x - 2^11.2b nằm trong khoảng (2^2022 + 2023.(-2) - 2^11.2, 2^2022 + 2023.(-1) - 2^11.2)

Vậy A = 2^2022 - 2023 - 2^12.

changg · Answer

{"userId":5061491,"userName":"BuiKhanh"}

Ta có:

a^3 + 2a + 12 = 8a^3 - 12ab + 4b

<=> 7a^3 + 12ab - 2a - 4b - 12 = 0

<=> 7a^3 + 12ab - 2(a + 2b) - 8 = 0

<=> 7a^3 + 12ab - 2a - 4b + 4a - 8 = 0

<=> 7a^3 - 8a + 4a + 12ab - 4b - 8 = 0

<=> (7a^3 - 8a) + 4(a + 3b - 2) = 0

<=> a(7a^2 - 8) + 4(a + 3b - 2) = 0

<=> a(7a^2 - 8) = -4(a + 3b - 2)

<=> a = [4(2 - a - 3b)] / (7a^2 - 8)

Đặt x = a - 2b, thì ta có:

A = x^2022 + (2023 + 2^11)x - 2^11.2b

Ta cần tính x.

Ta thay a = x + 2b vào phương trình 7a^3 - 8a + 4(a + 3b - 2) = 0, ta được:

7(x + 2b)^3 - 8(x + 2b) + 4(x + 5b - 2) = 0

<=> 7x^3 + 42bx^2 + (84b^2 - 8)x + 16b^3 - 20b + 8 = 0

Đặt f(x) = 7x^3 + 42bx^2 + (84b^2 - 8)x + 16b^3 - 20b + 8.

Ta thấy f(-2) = 7(-8) + 42b(4) + (84b^2 - 8)(-2) + 16b^3 - 20b + 8 < 0

và f(-1) = 7(-1) + 42b(1) + (84b^2 - 8)(-1) + 16b^3 - 20b + 8 > 0

Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (-2, -1).

Sử dụng định lí trung gian giá trị, ta có:

-2 < x < -1

<=> -2^2022 < x^2022 < -1^2022

<=> 2^2022 > x^2022 > 1

Vậy A = x^2022 + (2023 + 2^11)x - 2^11.2b nằm trong khoảng (2^2022 + 2023.(-2) - 2^11.2, 2^2022 + 2023.(-1) - 2^11.2)

Vậy A = 2^2022 - 2023 - 2^12.