Cho ab+bc+ac=0. Tính A=a2/(a2+2bc) + b2/(b2+2ac) + c2/(c2+2ab)

Question

Cho ab+bc+ac=0. Tính  A=a2/(a2+2bc) + b2/(b2+2ac)  + c2/(c2+2ab)

monkey521 · Accepted Answer

$\displaystyle ab+bc+ac=0$
⟹ $\displaystyle \begin{cases}
ab\ =\ -bc\ -\ ac\
bc\ =\ -ab\ -\ ac\
ca\ =\ -ba\ -\ bc
\end{cases}$⟹ $\displaystyle \begin{cases}
\frac{c^{2}}{c^{2} \ +\ 2ab} \ =\ \frac{c^{2}}{c^{2} \ -bc\ -\ ac\ +\ ab\ } \ =\ \frac{c^{2}}{( c\ -\ a)( c\ -\ b)}\
\frac{a^{2}}{a^{2} \ +\ 2bc} \ =\ \frac{a^{2}}{a^{2} \ -\ ab\ -\ ac\ +\ bc} \ =\ \frac{a^{2}}{( a\ -\ b)( a\ -\ c)}\
\frac{b^{2}}{b^{2} \ +\ 2ca} \ =\ \frac{b^{2}}{b^{2} \ -\ ba\ -\ bc\ +\ ca} \ =\ \frac{b^{2}}{( b\ -\ a)( b\ -\ c)}
\end{cases}$
⟹ $\displaystyle A\ =\ \frac{c^{2}}{( c\ -\ a)( c\ -\ b)} \ +\frac{a^{2}}{( a\ -\ b)( a\ -\ c)} \ +\ \frac{b^{2}}{( b\ -\ a)( b\ -\ c)}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
=\ \frac{c^{2}( b\ -a) \ +\ a^{2}( c\ -\ b) \ +\ b^{2}( a\ -\ c)}{( a\ -\ b)( b\ -\ c)( c\ -\ a)}\
=\ \frac{c^{2} b\ -\ c^{2} a\ +\ a^{2} c\ -\ a^{2} b\ +\ b^{2} a\ -\ b^{2} c}{( a\ -\ b)( b\ -\ c)( c\ -\ a)} \ \
=\ \frac{\left( ab^{2} \ +\ bc^{2} \ +\ ca^{2} ight) \ -\ \left( a^{2} b\ +\ b^{2} c\ +c^{2} a ight)}{\left( ab\ -\ b^{2} \ -\ ac\ +\ bc ight)( c\ -\ a)} \ \
=\ \frac{\left( ab^{2} \ +\ bc^{2} \ +\ ca^{2} ight) \ -\ \left( a^{2} b\ +\ b^{2} c\ +c^{2} a ight)}{abc\ -\ b^{2} c\ -\ ac^{2} \ +\ bc^{2} \ -\ a^{2} b\ +\ ab^{2} \ +\ a^{2} c\ -\ abc}\
=\ \frac{\left( ab^{2} \ +\ bc^{2} \ +\ ca^{2} ight) \ -\ \left( a^{2} b\ +\ b^{2} c\ +c^{2} a ight)}{-\ b^{2} c\ -\ ac^{2} \ +\ bc^{2} \ -\ a^{2} b\ +\ ab^{2} \ +\ a^{2} c\ }\
=\ \frac{\left( ab^{2} \ +\ bc^{2} \ +\ ca^{2} ight) \ -\ \left( a^{2} b\ +\ b^{2} c\ +c^{2} a ight)}{\left( ab^{2} \ +\ bc^{2} \ +\ ca^{2} ight) \ -\ \left( a^{2} b\ +\ b^{2} c\ +c^{2} a ight)} \ =\ 1
\end{array}$

Timi · Answer

Đây là một bài toán thuộc lớp phương trình và biểu thức đại số. Để giải quyết nó, chúng ta sẽ sử dụng các kỹ năng đại số cơ bản và một số công thức.

Bước 1: Chúng ta có thể viết lại biểu thức A như sau:

A = a^2/(a^2+2bc) + b^2/(b^2+2ac)  + c^2/(c^2+2ab)

= (a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c))/(a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c))

Bước 2: Từ điều kiện ban đầu ab+bc+ac=0, chúng ta có a+b+c=0.

Thay vào biểu thức A, ta được:

A = (a^4+b^4+c^4)/(a^4+b^4+c^4) = 1

Vậy, giá trị của A là 1.