Cho x^2 +y^2 = 1. Tính giá trị biểu thức A = 2 ( x^6 + y^6 ) - 3 ( x^4 + y^4 )

Loại bài toán này là bài toán đại số với biến số phức tạp. Để giải quyết nó, chúng ta cần sử dụng một số công thức và kỹ thuật đại số. Bước 1: Nhận biết Đầu tiên, chúng ta nhận ra rằng x^2 + y^2 = 1 có thể được viết lại thành (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = 1. Điều này cho thấy x và y có thể là các giá trị của hàm sin hoặc cos. Bước 2: Thay thế Chúng ta có thể đặt x = cos(t) và y = sin(t), vì cos^2(t) + sin^2(t) = 1. Bước 3: Tính toán Thay x và y vào biểu thức A, ta được: A = 2(cos^6(t) + sin^6(t)) - 3(cos^4(t) + sin^4(t)) Sử dụng công thức Euler, ta có: cos^n(t) + sin^n(t) = (e^{it}+e^{-it})/2^n Do đó, biểu thức A trở thành: A = 2((e^{6it}+e^{-6it})/64 - 3(e^{4it}+e^{-4it})/32) Sau khi tính toán, ta thu được: A = e^{6it}/32 + e^{-6it}/32 - e^{4it}/16 - e^{-4it}/16 Bước 4: Đơn giản hóa Sử dụng công thức Euler một lần nữa, ta có: A = cos(6t)/16 - cos(4t)/8 Vì x = cos(t), y = sin(t), và cos^2(t) + sin^2(t) = 1, ta có thể viết lại A như sau: A = (cos^6 - 3cos^4)/16 Đây là kết quả cuối cùng.