Cho tam giác ABC có M,N lần lượt là trung điểm AB,AC . VẼ AD là đường phân giác của BAC . CHỨNG MINH BD/AM=DC/AN .

Question

heocon22 · Accepted Answer

Tam giác $\displaystyle ABC$ có $\displaystyle M$ là trung điểm $\displaystyle AB$,$\displaystyle N$ là trung điểm $\displaystyle AC$
$\displaystyle \Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $\displaystyle ABC$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{AM}{AB} =\frac{AN}{AC} \Rightarrow \frac{AM}{AN} =\frac{AB}{AC}$
Tam giác $\displaystyle ABC$ có phân giác $\displaystyle AD$.Áp dụng tính chất đường phân giác có:
$\displaystyle \frac{BD}{DC} =\frac{AB}{AC}$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{AM}{AN} =\frac{BD}{CD} \Rightarrow \frac{BD}{AM} =\frac{CD}{AN}$ (đpcm)

Timi · Answer

Đây là một bài toán về tỉ lệ trong tam giác, cụ thể là sử dụng định lý Ceva để chứng minh.

Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng đã cho

Ta có tam giác $ABC$ với $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Đường phân giác của góc $BAC$ là đường thẳng $AD$.

Bước 2: Sử dụng định lý Ceva

Theo định lý Ceva, nếu ba đường thẳng qua các điểm trên các cạnh của một tam giác tạo thành một hệ thống song song, thì tỉ số của các khoảng cách từ các điểm này tới các đỉnh tương ứng của tam giác là bằng nhau.

Ở đây, ta có:

$\frac{BD}{DM} \cdot \frac{MA}{AN} \cdot \frac{NC}{CB} = 1$

Vì M,N là trung điểm nên $\frac{BD}{DM} = \frac{DC}{CN}$ và $\frac{MA}{AN} = \frac{MB}{BC}$

Thay vào công thức ta được:

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{MB}{BC} \cdot \frac{NC}{CB} = 1$

Rút gọn ta được:

$\frac{BD}{DC} =\frac {AM}{AN}$

Vậy ta đã chứng minh được $BD/AM=DC/AN$.