Cho tam giác ABC (AB<AC). Phân giác AM. ở miền ngoài tam giác Vẽ tia Cx sao cho góc BCx = góc BAD. Gọi N là giao điểm của Cx và AM. chứng minh: a, BM.MC=MN.MA b, tam giác ABM đồng dạng với tam giác AC...

Đây là một bài toán về tam giác và phân giác trong hình học không gian. Chúng ta sẽ tiến hành giải từng phần. a, Để chứng minh $$, ta dựa vào định lý Stewart trong tam giác. Theo định lý Stewart, nếu $$ là một điểm trên cạnh $$ của tam giác $$, thì: $$ Do $$ là phân giác nên $$, suy ra: $$ Thay vào công thức trên ta được: $$ Sắp xếp lại ta được: $$ Từ đó suy ra: $$ b, Để chứng minh tam giác $$ đồng dạng với tam giác $$, ta chỉ cần chứng minh hai góc tương ứng bằng nhau. Ta có $$ (do AM là phân giác) và $$ (do góc BAD=BCx). Vậy tam giác $$ đồng dạng với tam giác $$. c, Để chứng minh tam giác $$ cân, ta chỉ cần chứng minh $$. Ta có $$. Tương tự, ta có $$. Vậy tam giác $$ cân. d, Để chứng minh $$, ta dựa vào công thức đã tìm được ở phần a. Ta có: $$ Bình phương hai vế, ta được: $$ Nhưng do $$, nên: $$ Vậy: $$