Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: a. Tam giác ABE bằng tam giác ADC b. Góc BMC bằng 120°

a. Để chứng minh tam giác ABE bằng tam giác ADC, ta cần chứng minh hai tam giác này có các cặp góc tương đương và một cặp cạnh bằng nhau. Gọi $$ và $$. Ta có: $$ Vì tam giác ABC nhọn nên $$, từ đó suy ra: $$ Do đó, ta có $$. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $$. Vì $$ và $$ là tam giác đều nên $$ và $$. Xét hai tam giác $$ và $$, ta thấy: $$ Vậy theo nguyên lý SSS (Side-Side-Side), ta kết luận được rằng tam giác $$ bằng tam giác $$. b. Để chứng minh góc BMC bằng 120°, ta xem xét tứ giác BCME. Vì BE là đường cao của tam giác ACE và CD là đường cao của tam giác ABD nên ta có: $$ Từ các phương trình trên, suy ra: $$ Do đó, tứ giác BCME là hình vuông. Vậy góc BMC bằng góc MBC là góc của hình vuông, tức là 90°. Và vì $$ do BME là một trong ba góc của tam giác đều BME nên: $$ Cuối cùng, với $$, suy ra $$. Do đó, góc BMC bằng 120°.