Giúp mình với! BTVN,4 Cho $\Delta ABC$ có $AB

Question

Giúp mình với! BTVN,4 Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC.$ Tia p/g của $\widehat A$ cắt cạnh BC tại I. Trên cạnh,AC lấy D sao cho $AD=AB$ C/minh:,$a.~BI=ID$,b. Tia DI cắt Tia AB tại E. C/minh: $\Delta IBE=\Delta IDC,$ từ đó $\Leftrightarrow$,suy ra $BD//CE$,c. Gọi H là trung điểm của BC. C/minh 3 điểm A, I, H thẳng hàng và,$AH+BD$,3 Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC.$ Gọi M là trung điểm của BC, Từ M Kẻ đg,thẳng $I\bot vs$ tia p/g của $\widehat{BAC}$ tại N và cắt tia AB tại E, cắt tia AC,tại F. C/m :,$a.~AE=AF$,$b.~BE=CF$

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

Bài toán 4

Cho tam giác $ \Delta ABC $ với $ AB < AC $. Tia phân giác của $ \widehat{A} $ cắt cạnh $ BC $ tại $ I $. Trên cạnh $ AC $ lấy điểm $ D $ sao cho $ AD = AB $.

a. Chứng minh: $ BI = ID $

Vì $ I $ là giao điểm của tia phân giác của $ \widehat{A} $ với cạnh $ BC $, theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có:

$$
\frac{BI}{IC} = \frac{AB}{AC}
$$

Do $ AD = AB $, ta có:

$$
\frac{BI}{IC} = \frac{AD}{AC}
$$

Vì $ D $ nằm trên $ AC $ và $ AD = AB $, nên $ D $ chia $ AC $ thành hai đoạn bằng nhau, tức là $ \frac{AD}{DC} = 1 $.

Do đó, $ BI = ID $.

b. Tia $ DI $ cắt tia $ AB $ tại $ E $. Chứng minh: $ \Delta IBE = \Delta IDC $, từ đó suy ra $ BD \parallel CE $.

- Xét hai tam giác $ \Delta IBE $ và $ \Delta IDC $:

- $ BI = ID $ (đã chứng minh ở phần a).
  - $ \widehat{IBE} = \widehat{IDC} $ (vì $ DI $ là tia phân giác của $ \widehat{BIC} $).
  - $ IE $ là cạnh chung.

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có $ \Delta IBE = \Delta IDC $.

- Từ $ \Delta IBE = \Delta IDC $, suy ra $ BE = DC $.

- Vì $ BE = DC $ và $ \widehat{IBE} = \widehat{IDC} $, nên $ BD \parallel CE $ (theo định lý về hai đường thẳng song song cắt nhau bởi một đường thẳng).

c. Gọi $ H $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh 3 điểm $ A, I, H $ thẳng hàng và $ AH + BD $.

- Vì $ H $ là trung điểm của $ BC $, nên $ BH = HC $.

- Từ phần a, ta có $ BI = ID $, do đó $ I $ cũng là trung điểm của $ BD $.

- Vì $ I $ là trung điểm của $ BD $ và $ H $ là trung điểm của $ BC $, nên $ A, I, H $ thẳng hàng theo định lý đường trung bình trong tam giác.

- Từ đó, $ AH + BD $ là một đường thẳng.

Bài toán 3

Cho tam giác $ \Delta ABC $ với $ AB < AC $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Từ $ M $ kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của $ \widehat{BAC} $ tại $ N $ và cắt tia $ AB $ tại $ E $, cắt tia $ AC $ tại $ F $.

a. Chứng minh: $ AE = AF $

- Vì $ M $ là trung điểm của $ BC $, nên $ BM = MC $.

- Đường thẳng $ MN $ vuông góc với tia phân giác của $ \widehat{BAC} $, do đó $ \angle AME = \angle AMF $.

- Do $ \angle AME = \angle AMF $ và $ ME = MF $ (vì $ M $ là trung điểm), theo định lý đường trung bình, ta có $ AE = AF $.

b. Chứng minh: $ BE = CF $

- Từ phần a, ta có $ AE = AF $.

- Vì $ M $ là trung điểm của $ BC $, nên $ BE = CF $ theo định lý đường trung bình trong tam giác.

Với các bước lập luận trên, chúng ta đã giải quyết được các phần của bài toán một cách chi tiết và rõ ràng.