$\sqrt{7+2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{6}}$

Để tính giá trị của biểu thức $\sqrt{7+2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{6}}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt $A = \sqrt{7+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{6}}$. Bước 2: Bình phương cả hai vế của biểu thức $A$: \[ A^2 = (\sqrt{7+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{6}})^2 \] Bước 3: Sử dụng công thức bình phương tổng $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: \[ A^2 = (\sqrt{7+2\sqrt{6}})^2 + 2 \cdot \sqrt{7+2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{7-2\sqrt{6}} + (\sqrt{7-2\sqrt{6}})^2 \] Bước 4: Tính từng phần: \[ (\sqrt{7+2\sqrt{6}})^2 = 7 + 2\sqrt{6} \] \[ (\sqrt{7-2\sqrt{6}})^2 = 7 - 2\sqrt{6} \] \[ 2 \cdot \sqrt{7+2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{7-2\sqrt{6}} = 2 \cdot \sqrt{(7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6})} \] Bước 5: Tính tích trong căn bậc hai: \[ (7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6}) = 7^2 - (2\sqrt{6})^2 = 49 - 24 = 25 \] \[ 2 \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10 \] Bước 6: Kết hợp tất cả các phần lại: \[ A^2 = (7 + 2\sqrt{6}) + (7 - 2\sqrt{6}) + 10 \] \[ A^2 = 7 + 2\sqrt{6} + 7 - 2\sqrt{6} + 10 \] \[ A^2 = 14 + 10 \] \[ A^2 = 24 \] Bước 7: Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ A = \sqrt{24} \] \[ A = 2\sqrt{6} \] Vậy giá trị của biểu thức $\sqrt{7+2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{6}}$ là $2\sqrt{6}$.