tìm x thuộc z để x^2-4x-25 là số chính phương

Question

dangviet-phu · Accepted Answer

$\displaystyle x^{2} -4x-25$ là số chính phương
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow x^{2} -4x-25=a^{2}\
\Rightarrow x^{2} -4x+4-a^{2} =29\
\Rightarrow ( x-2)^{2} -a^{2} =29\
\Rightarrow ( x-2-a)( x-2+a) =29
\end{array}$
+,$\displaystyle \begin{cases}
x-2-a=1 & \
x-2+a=29 &
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
x=17 & \
a=14 &
\end{cases}$
+,$\displaystyle \begin{cases}
x-2-a=-29 & \
x-2+a=-1 &
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
x=-13 & \
a=14 &
\end{cases}$
Vậy $\displaystyle x\in \{-13;17\}$

Timi · Answer

Đây là một bài toán tìm số nguyên x sao cho biểu thức x^2 - 4x - 25 trở thành một số chính phương.

Bước 1: Đặt x^2 - 4x - 25 = y^2 với y thuộc Z (tập hợp các số nguyên)

Bước 2: Sắp xếp lại phương trình, ta có:

x^2 - 4x + 4 = y^2 + 25 + 4

(x-2)^2 = y^2 +29

Bước này, ta đã hoàn thành việc hoàn thiện bình phương trái của phương trình.

Bước 3: Giải quyết vấn đề là tìm giá trị của x sao cho (x-2)^2 - y^2 =29 là một bình phương hoàn hảo. Điều này chỉ có thể xảy ra khi (x-2) >= sqrt(29) và y=0.

Vậy nên, ta có:

(x-2)^2 =29
=> x= sqrt(29) + 2 hoặc x= -(sqrt(29)) + 2

Nhưng theo đề bài, x thuộc Z nên giá trị của x chỉ có thể là số nguyên. Vì sqrt(29) không phải là số nguyên nên không tồn tại giá trị nguyên của x thoả mãn điều kiện đề bài.

Vậy, không có giá trị nào của x thoả mãn điều kiện đề bài.