Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 ≥ 3abc, với a, b, c 0.

Question

Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 ≥ 3abc, với a, b, c > 0.

Bùi thảo Linhhg1 · Accepted Answer

$\displaystyle a^{3} \ +\ b^{3} \ +\ c^{3} \ \geqslant \ 3abc$
⟹ $\displaystyle ( a\ +\ b)^{3} +\ c^{2} \ -\ 3ab( a\ +\ b) \ -\ 3abc\ \geqslant \ 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \ ( a\ +\ b\ +\ c)\left( a^{2} \ +\ b^{2} \ +\ c^{2} \ -\ bc\ -\ ac\ +\ 2ab\right) \ -3ab( a+b+c) \ \geqslant \ 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \ ( a\ +\ b\ +\ c)\left( a^{2} \ +\ b^{2} \ +\ c^{2} \ -\ ab\ -\ bc\ -\ ac\right) \ \geqslant 0\ $
$\displaystyle \Leftrightarrow ( a\ +\ b\ +\ c)\left[( a\ -\ b)^{2} \ +\ ( b\ -\ c)^{2} \ +\ ( c\ -\ a)^{2}\right] \geqslant 0\ $(đúng vs mọi $\displaystyle a,\ b,\ c\ >\ 0$ )
Dấu$\displaystyle \ "\ ="$ xảy ra khi $\displaystyle a\ =\ b\ =\ c$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc$ với $a, b, c > 0$, ta sử dụng Bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình - cực đại):
AM-GM: Đối với ba số thực dương $x, y, z$, ta có $\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$.

Áp dụng AM-GM cho $a^3, b^3, c^3$, ta được:
$$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^3b^3c^3} = abc.$$

Do đó, ta có:
$$a^3 + b^3 + c^3 \geq  3abc.$$

Tuy nhiên, khi xét điều kiện ban đầu là $a, b, c > 0$, ta nhận thấy rằng không thể áp dụng AM-GM trực tiếp vì không thể chia cho số âm. Vì vậy, trong trường hợp này, bất đẳng thức không được chứng minh và kết luận cuối cùng là "Bất đẳng thức không đúng".