7. Cho khối chóp cụt đều ABCD. A' B' C' D' đáy ABCD và A'B'C'D' có độ lượt là 6a và 3a. độ dài cạnh bên bằng 4a. Tính thể tích của khối chóp cụt đều ABCD. A’B’C’D’

Question

Accepted Answer

Kéo dài các cạnh AA';BB';CC';DD' cắt nhau tại S
$\displaystyle \Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} =V_{S.ABCD} -V_{S.A'B'C'D'}$
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình chóp cụt đều nên ABCD và A'B'C'D' là các hình vuông, gọi O và O' là tâm của ABCD và A'B'C'D', ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
SO'\bot ( A'B'C'D') ;SO\bot ( ABCD)\
AA'=BB'=CC'=DD'=4a\
AB=BC=CD=DA=6a;A'B'=B'C'=C'D'=D'A'=3a\
O'D'//OD\
\Rightarrow \frac{O'D'}{OD} =\frac{SD'}{SD}\
\Rightarrow \frac{B'D'}{BD} =\frac{SD'}{SD'+DD'}\
\Rightarrow \frac{\sqrt{A'B^{\prime 2} +A'D^{\prime 2}}}{\sqrt{AB^{2} +AD^{2}}} =\frac{SD'}{SD'+DD'}\
\Rightarrow SD'=4a\
\Rightarrow SO'=\sqrt{SD^{\prime 2} -O'D^{\prime 2}} =\frac{a\sqrt{46}}{2}\
O'D'//OD\Rightarrow \frac{SO'}{SO} =\frac{SD'}{SD} =\frac{1}{2}\
\Rightarrow SO=2.SO'=a\sqrt{46}\
V_{ABCD.A'B'C'D'} =V_{S.ABCD} -V_{S.A'B'C'D'}\
\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3} .SO.S_{ABCD} -\frac{1}{3} .SO'.S_{A'B'C'D'} =\frac{1}{3} .( SO.AB.AD-SO'.A'B'.A'D') =\frac{21\sqrt{46}}{2} a^{3}
\end{array}$