Có hai sinh lớp 10, hai học sinh lớp 11 và bốn học sinh lớp 12 xếp thành một hàng dọc sao cho giữa hai học sinh lớp 10 không có học sinh nào lớp 12. Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy?

Loại bài toán này là bài toán xác suất và tổ hợp. Đầu tiên, chúng ta cần xem xét vị trí của các học sinh lớp 10. Vì giữa hai học sinh lớp 10 không có học sinh nào lớp 12, nên hai học sinh lớp 10 chỉ có thể đứng ở các vị trí mà không phải là vị trí kề nhau. Chúng ta có tổng cộng $$ học sinh, tạo ra $$ khoảng trống giữa và xung quanh chúng (xem như các "vị trí" mà chúng ta có thể đặt các học sinh khác). Trong số $$ khoảng trống này, chúng ta cần chọn $$ khoảng trống để đặt hai học sinh lớp 10 vào. Số cách làm điều này là $$. Tiếp theo, sau khi đã đặt hai học sinh lớp 10 vào hàng, chúng ta sẽ có $$ "vị trí" còn lại cho sáu học sinh khác (hai học sinh lớp 11 và bốn học sinh lớp 12). Số cách để sắp xếp sáu người này vào bảy vị trí là $$. Cuối cùng, trong mỗi nhóm (học sinh lớp 10, học sinh lớp 11, và học sinh lớp 12), chúng ta cần xem xét số cách để sắp xếp các học sinh trong nhóm. Đối với học sinh lớp 10 và học sinh lớp 11, có $$ cách để sắp xếp hai người. Đối với học sinh lớp 12, có $$ cách để sắp xếp bốn người. Vậy tổng số cách để sắp xếp tất cả các học sinh theo yêu cầu là $$.